Выбрано 13 задач 
Убрать все задачи
В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше m² + 1 точек с целыми координатами.
Докажите, что в нём найдутся m + 1 точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.
Обозначим через S(m) сумму цифр натурального числа m. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных n, что S(3n) ≥ S(3n+1).
Можно ли доску размером 5×5 заполнить доминошками размером 1×2?
Ma, Mb, Mc – середины сторон, Ha, Hb, Hc – основания высот треугольника ABC площади S.
Доказать, что из отрезков MaHb, MbHc, McHa можно составить треугольник, найти его площадь.
Имеются два набора из чисел 1 и –1, в каждом по 1958 чисел. Доказать, что за некоторое число шагов можно превратить первый набор во второй, если на каждом шагу разрешается одновременно изменить знак у любых 11 чисел первого набора. (Два набора считаются одинаковыми, если у них на одинаковых местах стоят одинаковые числа.)
На окружности расставлено n цифр, отличных от 0. Сеня и Женя переписали себе в тетрадки n – 1 цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими (n–1)-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.
Найти все прямые в пространстве, проходящие через данную точку M на данном расстоянии d от данной прямой AB.
Точка G — центр шара, вписанного в правильный тетраэдр ABCD. Прямая OG, соединяющая G с точкой O, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках A', B', C', D'. Доказать, что
Внутри выпуклого пятиугольника выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что внутрь него попадут обе выбранные точки.
Чётными или нечётными будут сумма и произведение:
а) двух чётных чисел?
б) двух нечётных чисел?
в) чётного и нечётного чисел?
Найти все действительные решения системы
Правильный треугольник, одна сторона которого отмечена, отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь отражается и т.д., пока на некотором шаге треугольник не придёт в первоначальное положение. Доказать, что при этом отмеченная сторона также займёт исходное положение.
Про действительные числа a, b, c известно, что (a + b + c)c < 0. Докажите, что b² – 4ac > 0.
|
|
 |
Условие
Про действительные числа a, b, c известно, что (a + b + c)c < 0. Докажите, что b² – 4ac > 0.
Подсказка
Рассмотрите квадратный трёхчлен f(x) = x² + bx + ac.
Решение
Первый способ. Рассмотрим квадратный трёхчлен f(x) = x² + bx + ac. Заметим, что f(c) = c² + bc + ac = (a + b + c)c < 0. Так как коэффициент при x² положителен, то дискриминант данного квадратного трёхчлена положителен (иначе бы трёхчлен принимал бы только неотрицательные значения).
Второй способ. Если a = 0, то b² – 4ac = b² > 0 (если b = 0, то 0 > (a + b + c)c = c², что невозможно).
Если a ≠ 0, рассмотрим квадратный трёхчлен g(x) = ax² + bx + c. На концах отрезка [0, 1] он принимает значения разных знаков, так как
g(1)g(0) = (a + b + c)c < 0. Значит, его дискриминант положителен.
