Король решил уволить в отставку премьер-министра, но не хотел его обидеть. Когда премьер-министр пришёл к королю, тот сказал: "В этот портфель я положил два листа бумаги. На одном из них написано "`Останьтесь"', на другом  — "`Уходите"'. Листок, который вы сейчас не глядя вытянете из портфеля, решит вашу судьбу". Премьер-министр догадался, что на обоих листках написано "Уходите". Однако ему удалось сделать так, что король его оставил. Как поступил премьер-министр?

   Решение

Покупатель взял у продавца товара на 10 р. и дал 25 р. У продавца не нашлось сдачи, и он разменял деньги у соседа. Когда они расплатились и покупатель ушёл, сосед обнаружил, что 25 р. фальшивые. Продавец вернул соседу 25 р. и задумался. Какой убыток понёс продавец?

   Решение

Федя всегда говорит правду, а Вадим всегда лжёт. Какой вопрос надо было бы им задать, чтобы они дали на него одинаковые ответы?

   Решение

На прямой даны 3 точки A, B, C. На отрезке AB построен равносторонний треугольник ABC₁, на отрезке BC построен равносторонний треугольник BCA₁. Точка M — середина отрезка AA₁, точка N — середина отрезка CC₁. Доказать, что треугольник BMN — равносторонний. (Точка B лежит между точками A и C; точки A₁ и C₁ расположены по одну сторону от прямой AB.)

   Решение

Докажите, что при  a, b, c > 0  имеет место неравенство  

   Решение

Впишите в данный треугольник ABC прямоугольник PQRS (вершины R и Q лежат на сторонах AB и BC, P и S — на стороне AC) так, чтобы его диагональ имела данную длину.

   Решение

Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точки Z и W переходят в Z^* и W^*. Докажите, что середина отрезка Z^*W^* лежит на вписанной окружности.

   Решение

Вершины треугольника соответствуют комплексным числам a, b и c, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точки z и w изогонально сопряжены, то z + w + abc = a + b + c (Морли).

   Решение

По дороге цепочкой ползут три черепахи. "За мной ползут две черепахи" - говорит первая. "За мной ползет одна черепаха, и передо мной ползет одна черепаха" - говорит вторая. "Передо мной ползут две черепахи, и за мной ползет одна черепаха" - говорит третья. Как такое может быть?

   Решение

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиусы не меньше ½.

   Решение

Темы:    [ Покрытия ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиусы не меньше ½.

Подсказка

На покрытие границы круга уйдёт не меньше семи кругов с радиусом, меньшим ½.

Решение

Рассмотрим круги радиуса меньше ½ (будем называть их маленькими), которые покрывают границу большого круга радиуса 1. Докажем, что таких кругов не меньше семи. Как известно, в окружности радиуса 1 дуга, стягиваемая хордой длины 1, имеет градусную меру 60°. Рассмотрим дуги окружности радиуса 1, высекаемые маленькими кругами. Поскольку хорды, стягивающие эти дуги, не превосходят 1, градусная мера каждой из этих дуг меньше 60°. Так как градусная мера всей окружности равна 360°, то шести маленьких кругов не хватит для покрытия границы большого круга. Кроме кругов, покрывающих границу, потребуется ещё один маленький круг для покрытия центра большого круга: расстояние от точки на границе большого круга до его центра больше диаметра маленького круга. Таким образом, для покрытия большого круга требуется не менее восьми маленьких кругов.

Источники и прецеденты использования