Докажите, что любой остроугольный треугольник площади 1 можно поместить в прямоугольный треугольник площади .

   Решение

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

   Решение

Докажите справедливость формулы  

   Решение

На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники  A₁BC, AB₁C и ABC₁ с углами α, β и γ при основаниях, причём  α + β + γ = 60°.  Прямые BC₁ и B₁C пересекаются в точке A₂, AC₁ и A₁C – в точке B₂, AB₁ и A₁B – в точке C₂. Докажите, что углы треугольника A₂B₂C₂ равны 3α, 3β и 3γ.

   Решение

Окружность радиуса u_a вписана в угол A треугольника ABC, окружность радиуса u_b вписана в угол B; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами     равен    где p – полупериметр треугольника ABC.

   Решение

Напечатать в порядке возрастания все простые несократимые дроби, заключенные между 0 и 1, знаменатели которых не превышают 7.

   Решение

В каждый из углов треугольника ABC вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.

   Решение

Докажите, что для любого натурального a найдётся такое натуральное n, что все числа  n + 1,  nⁿ + 1,  nⁿⁿ + 1,  ...  делятся на a.

   Решение

Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 100.

   Решение

Докажите, что в любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить треугольник, площадь которого не меньше: а) 1/4; б) 3/8.

   Решение

В вершинах куба расставлены цифры 1, 2, ..., 8. Докажите, что есть ребро, цифры на концах которого отличаются не менее чем на 3.

   Решение

На квадратном клетчатом листе бумаги размером 100 * 100 клеток нарисовано несколько прямоугольников. Каждый прямоугольник состоит из целых клеток, различные прямоугольники не накладываются друг на друга и не соприкасаются (см. пример на рис.). Задан массив размером 100 * 100, в котором элемент А [i, j] = 1, если клетка [i, j] принадлежит какому - либо прямоугольнику, и А [i, j] = 0 в противном случае. Написать программу, которая сосчитает и напечатает число прямоугольников.

   Решение

а) Может ли квадрат натурального числа оканчиваться на 2?

б) Можно ли, используя только цифры 2, 3, 7, 8 (возможно, по несколько раз), составить квадрат натурального числа?

   Решение

Карлсон написал дробь ¹⁰/₉₇. Малыш может:
  1) прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно,
  2) умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь,
  а) равную ½?  б) равную 1?

   Решение

Можно ли разбить какой-нибудь треугольник на 5 одинаковых треугольников?

   Решение

Тема:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Можно ли разбить какой-нибудь треугольник на 5 одинаковых треугольников?

Подсказка

В качестве примера можно взять прямоугольный треугольник, в котором катеты относятся как 1:2.

Решение

Примером является прямоугольный треугольник ABC с катетами AC=1 и BC=2. Укажем нужное разбиение этого треугольника. Проведем высоту CH из вершины C прямого угла. Треугольник ABC при этом разбивается на 2 подобных треугольника ACH и BCH. Коэффициент подобия этих треугольников равен AC/BC=1/2. Далее, треугольник BCH можно разбить средними линиями на 4 равных треугольника, каждый из которых подобен треугольнику BCH с коэффициентом подобия 1/2. В итоге треугольник ABC оказался разбитым на 5 треугольников, равных треугольнику ACH.

Источники и прецеденты использования