7 волков съедают 7 баранов за 7 дней. За сколько дней 9 волков съедят 9 баранов?

   Решение

Теннисист для тренировки играет каждый день хотя бы одну партию; при этом, чтобы не перетрудиться, он играет не более 12 партий в неделю.
Докажите, что можно найти несколько таких подряд идущих дней, в течение которых теннисист сыграл ровно двадцать партий.

   Решение

Известно, что натуральное число n в 3 раза больше суммы своих цифр. Докажите, что n делится на 27.

   Решение

Улитка проснулась, доползла от гриба до родника и уснула. Путешествие заняло шесть часов. Улитка ползла то быстрее, то медленнее, останавливалась. За улиткой наблюдали несколько учёных. Известно, что:
  1) В каждый момент путешествия улитку наблюдал хотя бы один учёный.
  2) Каждый учёный наблюдал неспящую улитку в течение одного часа (без перерыва) и говорит, что за это время улитка проползла ровно один метр.
Каково наибольшее возможное расстояние от гриба до родника?

   Решение

Существует ли такое значение x, что выполняется равенство  arcsin²x + arccos²x = 1?

   Решение

Даны точки A и B. Где на прямой AB расположены точки, расстояние от которых до точки B больше, чем до точки A?

   Решение

При организации экспедиции на Эверест участниками было установлено четыре высотных лагеря (не считая базового), на растоянии дня пути друг от друга, после чего все спустились вниз. Пересчитав запасы, руководитель решил, что надо занести еще один баллон кислорода в четвертый лагерь, а потом всем опять вернуться вниз на отдых. При этом каждый участник
1) может нести вверх не больше трех баллонов,
2) сам тратит в день ровно один баллон кислорода.
Какое наименьшее количество баллонов придется взять из лагеря для достижения поставленной цели? (Оставлять баллоны можно только в лагерях.)

   Решение

По кругу написано семь натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа, сумма которых чётна.

   Решение

Встретились несколько аборигенов (каждый — либо лжец, либо — рыцарь), и каждый заявил всем остальным: «Вы все — лжецы». Сколько рыцарей было среди них?

   Решение

Доказать, что уравнение  19x² – 76y² = 1976  не имеет решений в целых числах.

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Четность и нечетность ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что уравнение  19x² – 76y² = 1976  не имеет решений в целых числах.

Подсказка

Сократите на 19 и используйте чётность.

Решение

Сократив обе части на 19, получим  x² – 4y² = 104.  Значит, x чётно:  x = 2z.  Тогда  z² – y² = 26.  Заметим, что переменные одной чётности. Но при этом левая часть делится на 4, а правая нет.

Источники и прецеденты использования