Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
Существует ли такой выпуклый пятиугольник, от которого некоторая прямая отрезает подобный ему пятиугольник?
Число x таково, что число
x + — целое. Докажите, что при любом натуральном n
число
xn +
также является целым.
Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного правильного тетраэдра между серединами его противоположных рёбер.
Пусть a0, a1, ..., an, ... – периодическая последовательность, то есть для некоторого натурального T an+T = an (n ≥ 0). Докажите, что
а) среди всех периодов этой последовательности существует период наименьшей длины t;
б) T делится на t.
Имеется 50 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 51 золотая монета, они также упорядочены по весу. Известно, что все монеты по весу различны. В нашем распоряжении – двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за семь взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 51-е место?
Верно ли, что два графа изоморфны, если
а) у них по 10 вершин, степень каждой из которых равна 9?
б) у них по 8 вершин, степень каждой из которых равна 3?
в) они связны, без циклов и содержат по 6 рёбер?
Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба между серединой его ребра и наиболее удалённой от неё точки поверхности куба.
В графе все вершины имеют степень 3. Докажите, что в нём есть цикл.
План города имеет схему, представляющую собой прямоугольник 5×10 клеток. На улицах введено одностороннее движение: разрешается ехать только вправо и вверх. Сколько есть различных маршрутов, ведущих из левого нижнего угла в правый верхний?
Нарисуйте на плоскости шесть точек так, чтобы они служили вершинами ровно для 17 треугольников.
|
|
 |
Условие
Нарисуйте на плоскости шесть точек так, чтобы они служили вершинами ровно для 17 треугольников.
Подсказка
Если никакие три точки не будут лежать на одной прямой, то каждые три точки будут образовывать треугольник, и всего треугольников будет . Если "усадить" три точки на одну прямую, то на один треугольник станет меньше. Значит, нужно создать три тройки точек, лежащих на одной прямой.
Ответ
Например, можно взять вершины и середины сторон произвольного треугольника.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
