Информация о задаче

Выбрано 9 задач

На бумажке записаны три положительных числа x, y и 1. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке
a) число x²? б) число xy?

Решение

Автор: Бакаев Е.В.

Одной операцией к числу можно либо прибавить 9, либо стереть в нём в любом месте цифру 1.
Из любого ли натурального числа A при помощи таких операций можно получить число A + 1?
(Если стирается единица в самом начале числа, а за ней сразу идут нули, то эти нули тоже стираются.)

Решение

Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а вершина A движется так, что угол Брокара $\varphi$ треугольника ABC остается постоянным. Тогда точка A движется по окружности радиуса (a/2) $\sqrt{{\rm ctg}^2\varphi -3}$ , где a = BC (окружность Нейберга).

Решение

Автор: Жуков Г.

На плоскости даны шесть точек. Известно, что их можно разбить на две тройки так, что получатся два треугольника. Всегда ли можно разбить эти точки на две тройки так, чтобы получились два треугольника, которые не имеют друг с другом никаких общих точек (ни внутри, ни на границе)?

Решение

Автор: Жуков Г.

Пусть C(n) – количество различных простых делителей числа n. (Например, C(10) = 2, C(11) = 1, C(12) = 2.)
Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел (a, b), что a ≠ b и C(a + b) = C(a) + C(b)?

Решение

Автор: Бакаев Е.В.

Про группу из пяти человек известно, что:

   Алеша на 1 год старше Алексеева,
   Боря на 2 года старше Борисова,
   Вася на 3 года старше Васильева,
   Гриша на 4 года старше Григорьева,
   а еще в этой группе есть Дима и Дмитриев.

Кто старше и на сколько: Дима или Дмитриев?

Решение

Докажите, что у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны.

Решение

Точки M и N – середины противоположных сторон BC и AD выпуклого четырёхугольника ABCD. Диагональ AC проходит через середину отрезка MN. Докажите, что треугольники ABC и ACD равновелики.

Решение

Докажите, что у четырёхугольника, вписанного в окружность, суммы противоположных углов равны 180^o.

Решение

Условие

Подсказка

Источники и прецеденты использования