Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол  = ABP = BCP = CAP называется углом Брокара этого треугольника. Докажите, что  ctg = ctg + ctg + ctg.
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A₁. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A₁AC.

   Решение

---

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона.)

   Решение

Темы:    [ Прямая Симсона ] [ Вспомогательная окружность ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона.)

Подсказка

Пусть точка M лежит между точками A и B, а точки P и Q — по разные стороны от прямой AB. Если PMA = QMB, то точки P, M и Q лежат на одной прямой.

Решение

Пусть M — точка описанной окружности треугольника ABC, лежащая на дуге AC, не содержащей точки B; P₁, P₂, P₃ — основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые AB, BC, AC соответственно.

Точки A, P₁, M и P₃ лежат на окружности с диаметром AM. Поэтому

Точки C, P₂, P₃ и M лежат на окружности с диаметром MC. Поэтому

Каждый из углов P₁MP₂ и AMC дополняет угол ABC до 180^o. Поэтому

Тогда

Следовательно,

. Следовательно, точки P₁, P₃ и P₂ лежат на одной прямой.

Пусть M — точка описанной окружности треугольника ABC, лежащая на дуге AC, не содержащей точки B; P₁, P₂, P₃ — основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые AB, BC, AC соответственно.

Точки A, P₁, M и P₃ лежат на окружности с диаметром AM. Поэтому

Точки C, P₂, P₃ и M лежат на окружности с диаметром MC. Поэтому

Каждый из углов P₁MP₂ и AMC дополняет угол ABC до 180^o. Поэтому

Тогда

Следовательно,

. Следовательно, точки P₁, P₃ и P₂ лежат на одной прямой.

Пусть M — точка описанной окружности треугольника ABC, лежащая на дуге AC, не содержащей точки B; P₁, P₂, P₃ — основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые AB, BC, AC соответственно.

Точки A, P₁, M и P₃ лежат на окружности с диаметром AM. Поэтому

Точки C, P₂, P₃ и M лежат на окружности с диаметром MC. Поэтому

Каждый из углов P₁MP₂ и AMC дополняет угол ABC до 180^o. Поэтому

Тогда

Следовательно,

. Следовательно, точки P₁, P₃ и P₂ лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования