Выбрано 11 задач 
Убрать все задачи
Докажите неравенство при любых натуральных n и k.
В треугольник АВС вписана окружность и отмечен её центр I и точки касания P, Q, R со сторонами ВС, СА, АВ соответственно. Одной линейкой постройте точку К, в которой окружность, проходящая через вершины В и С, касается (внутренним образом) вписанной окружности.
AB — диаметр окружности, CD — хорда этой окружности. Перпендикуляры к хорде, проведённые через её концы C и D, пересекают прямую AB в точках K и M соответственно. Докажите, что AK = BM.
Что больше 200! или 100200?
В угол с вершиной $C$ вписана окружность $\omega$. Рассматриваются окружности, проходящие через $C$, касающиеся $\omega$ внешним образом и пересекающие стороны угла в точках $A$ и $B$. Докажите, что периметры всех треугольников $ABC$ равны.
На данной прямой l, проходящей через центр O данной окружности, фиксирована точка C (расположенная внутри окружности — прим. ред.). Точки A и A' расположены на окружности по одну сторону от l так, что углы, образованные прямыми AC и A'C с прямой l, равны. Обозначим через B точку пересечения прямых AA' и l. Доказать, что положение точки B не зависит от точки A.
Числа а, b и с лежат в интервале (0, 1). Докажите, что a + b + c + 2abc > ab + bc + ca + 2.
Упростите выражения:
а)
sinsin
sin
...sin
;
б)
sinsin
sin
...sin
;
в)
coscos
cos
...cos
;
г)
coscos
cos
...cos
.
Дано 1993 числа. Известно, что сумма любых четырёх чисел положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?
Докажите формулу Эйлера: O1O22 = R2-2rR , где O1 , O2 — центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника, r , R — радиусы этих окружностей.
Через данную точку проведите окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности.
|
|
 |
Условие
Через данную точку проведите окружность, касающуюся данной
прямой и данной окружности.
Решение
Предположим, что задача решена. Пусть Q — точка касания
окружностей, A1 — точка касания построенной окружности и данной
прямой, O — центр данной окружности, O1 — центр построенной
окружности, M — данная точка, AP — диаметр данной окружности,
перпендикулярный данной прямой, K — точка пересечения его продолжения с
данной прямой, P лежит между A и K .
Заметим, что точки A , Q и A1 лежат на одной прямой.
Из подобия прямоугольных треугольников AQP и AKA1 следует,
что
Пусть T — вторая точка пересечения прямой AM с построенной окружностью. Тогда
Поэтому
Следовательно, точки P , K , M и T лежат на одной окружности.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим окружность, проходящую через точки M , K и P . Если прямая AM пересекает эту окружность в точке T , отличной от точки M , то задача сводится к построению окружности, проходящей через точки M и T и касающейся данной окружности.
Если данные точка и окружность расположены по одну сторону от данной прямой и точка лежит вне окружности, то задача имеет четыре решения.
Пусть M — данная точка, l — данная прямая, S — данная окружность.
Предположим, что искомая окружность Ω построена (рис.2). При инверсии относительно произвольной окружности с центром M прямая l , не проходящая через центр инверсии, перейдёт в окружность l' , окружность S , не проходящая через центр инверсии, — в окружность S' , а окружность Ω , проходящая через центр инверсии, — в прямую Ω' , касающуюся окружностей l' и S' .
Отсюда вытекает следующее построение (рис.3). Строим образы l' и S' данных прямой l и окружности S при инверсии относительно некоторой окружности с центром в данной точке M , а затем проводим общие касательные к окружностям l' и S' . Образы этих касательных при той же инверсии есть искомые окружности.
Если данные точка и окружность расположены по одну сторону от данной прямой и точка лежит вне окружности, то задача имеет четыре решения.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 115 |
