Верно ли, что высоты любого тетраэдра пересекаются в одной точке?

   Решение

Внутри угла расположены две окружности с центрами A, B, которые касаются друг друга и сторон угла. Докажите, что окружность с диаметром AB касается сторон угла.

   Решение

Дан трёхгранный угол. Рассмотрим три плоскости, содержащие его грани. Эти плоскости разбивают пространство на восемь трёхгранных углов. а) Найдите плоские углы всех образовавшихся трёхгранных углов, если плоские углы исходного трёхгранного угла равны x , y и z . б) Найдите двугранные углы всех образовавшихся трёхгранных углов, если двугранные углы исходного трёхгранного угла равны α , β и γ .

   Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами. На стороне AD выбирается произвольная точка P, отличная от A и D. Описанные окружности треугольников ABP и CDP вторично пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки P.

   Решение

Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.

   Решение

Темы:    [ Теорема Птолемея ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Площадь четырехугольника ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4- Классы: 8,9 Название задачи: Теорема Птолемея.

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.

Решение

  Пусть четырёхугольник ABCD вписан в окружность.

  Первый способ. Рассмотрим на диагонали AC такую точку P, что  ∠ABP = ∠CBD  (рис. слева).
  Треугольники ABP и DBC подобны по двум углам. Поэтому  ∠AB : AP = BD : CD,  то есть  AB·CD = AP·BD.
  Поскольку  ∠ABD = ∠ABP + ∠PBD = ∠CBD + ∠PBD = ∠PBC,  треугольники PBC и ABD также подобны по двум углам. Поэтому  BC·AD = PC·BD.
  Сложив почленно эти равенства, получим, что  AB·CD + BC·AD = AP·BD + BD·PC = BD·(AP + PC) = BD·AC.

  Второй способ. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O и  ∠AOB = γ  (рис. справа). Тогда  S_ABCD = AC·BD sin γ,  а  γ = ½ (⌣AB + ⌣CD).
  Пусть C₁ – точка, симметричная вершине C относительно серединного перпендикуляра к отрезку BD. Тогда точка C₁ также лежит на окружности, четырёхугольники ABCD и ABC₁D равновелики,  BC₁ = DC,  DC₁ = BC,  а  ∠ADC₁ = ½ (⌣AB + ⌣CD) = γ.
  Значит,  S_ABCD = S_ABC1D = S_ADC1 + S_ABC1 = AD·DC₁ sin γ + AB·BC₁ sin(180° − γ) = (AD·BC + AB·CD) sin γ.  Таким образом,  AC·BD sin γ = (AD·BC + AB·CD) sin γ,  то есть  AC·BD = AD·BC + AB·CD.

Источники и прецеденты использования