Версия для печати
Убрать все задачи

---

В некотором городе на каждом перекрёстке сходятся ровно три улицы. Улицы раскрашены в три цвета так, что на каждом перекрёстке сходятся улицы трёх разных цветов. Из города выходят три дороги. Докажите, что они имеют разные цвета.

   Решение

---

На столе лежат купюры достоинством 1, 2, .. , 2n тугриков. Двое ходят по очереди. Каждым ходом игрок снимает со стола две купюры, большую отдает сопернику, а меньшую забирает себе. Каждый стремится получить как можно больше денег. Сколько тугриков получит начинающий при правильной игре?

   Решение

---

На хорде AB окружности S с центром в точке O взята точка C. D — вторая точка пересечения окружности S с окружностью, описанной около треугольника ACO. Докажите, что CD = CB.

   Решение

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На хорде AB окружности S с центром в точке O взята точка C. D — вторая точка пересечения окружности S с окружностью, описанной около треугольника ACO. Докажите, что CD = CB.

Подсказка

OC — биссектриса угла DOB.

Решение

Рассмотрим случай, когда точки D и C лежат по разные стороны от AO. Пусть DOC = . Тогда

Значит, OC — биссектриса угла DOB. Поскольку треугольник DOB равнобедренный, то прямая OC — серединный перпендикуляр к отрезку DB. Следовательно, CD = CB.

Источники и прецеденты использования