Версия для печати
Убрать все задачи

---

В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Может ли площадь треугольника, образованного точками пересечения этих отрезков, быть больше 0, 499S_ABC?

   Решение

---

а) Можно ли разложить 20 монет достоинством в 1, 2, 3, ..., 19, 20 мунгу по трём карманам так, чтобы в каждом кармане оказалась одинаковая сумма денег?

б) А если добавить еще один тугрик? (Как известно, один тугрик равен ста мунгу.)

   Решение

---

Даны отрезки a и b. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок .

   Решение

---

Биссектриса и высота, проведённые из одной вершины некоторого треугольника, делят его противоположную сторону на три отрезка.
Может ли оказаться, что из этих отрезков можно сложить треугольник?

   Решение

---

Найдите конечную арифметическую прогрессию с разностью 6 максимальной длины, состоящую из простых чисел.

   Решение

---

Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?

   Решение

---

Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке A. Общая касательная к обеим окружностям, проведённая через точку A, пересекается с другой их общей касательной в точке B. Найдите радиус второй окружности, если AB = 4.

   Решение

Темы:    [ Прямые, касающиеся окружностей ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке A. Общая касательная к обеим окружностям, проведённая через точку A, пересекается с другой их общей касательной в точке B. Найдите радиус второй окружности, если AB = 4.

Подсказка

Если r и R — радиусы окружностей, то AB = .

Решение

Пусть r и R — радиусы окружностей (r = 2), C и D — точки касания окружностей со второй (внешней) касательной. Тогда

Поскольку CD = 2, то = 4. Отсюда находим, что R = 8.

Если O₁ и O₂ — центры окружностей, то BA — высота прямоугольного треугольника O₁BO₂, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу O₁O₂. Следовательно,

Отсюда находим, что O₂A = 8.

Пусть r и R — радиусы окружностей (r = 2), C и D — точки касания окружностей со второй (внешней) касательной. Тогда

Поскольку CD = 2, то = 4. Отсюда находим, что R = 8.

Если O₁ и O₂ — центры окружностей, то BA — высота прямоугольного треугольника O₁BO₂, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу O₁O₂. Следовательно,

Отсюда находим, что O₂A = 8.

Пусть r и R — радиусы окружностей (r = 2), C и D — точки касания окружностей со второй (внешней) касательной. Тогда

Поскольку CD = 2, то = 4. Отсюда находим, что R = 8.

Если O₁ и O₂ — центры окружностей, то BA — высота прямоугольного треугольника O₁BO₂, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу O₁O₂. Следовательно,

Отсюда находим, что O₂A = 8.

Ответ

8.

Источники и прецеденты использования