Выбрано 10 задач 
Убрать все задачи
У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своём торте по 2 прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого — четыре. Как это могло быть?
В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик A прыгает через кузнечика B, то после прыжка он оказывается от B на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Прямая проходящая через середину его высоты $CH$ и вершину $A$ пересекает $CB$ в точке $K$. Пусть $L$ – середина $BC$, а $T$ – точка на отрезке $AB$ такая, что $\angle ATK=\angle LTB$. Известно, что $BC=1$. Найдите периметр треугольника $KTL$.
В пространство введены 4 попарно скрещивающиеся прямые, l1, l2, l3, l4, причём никакие три из них не параллельны одной плоскости. Провести плоскость P так, чтобы точки A1, A2, A3, A4 пересечения этих прямых с P образовывали параллелограмм. Сколько прямых заметают центры таких параллелограммов?
Любознательный турист хочет прогуляться по улицам Старого города от вокзала (точка A на плане) до своего отеля (точка B). Турист хочет, чтобы его маршрут был как можно длиннее, но дважды оказываться на одном и том же перекрестке ему неинтересно, и он так не делает. Нарисуйте на плане самый длинный возможный маршрут и докажите, что более длинного нет.
Скупой рыцарь хранит золотые монеты в 77 сундуках. Однажды, пересчитывая их, он заметил, что если открыть любые два сундука, то можно разложить лежащие в них монеты поровну по этим двум сундукам. Потом он заметил, что если открыть любые 3, или любые 4, ..., или любые 76 сундуков, то тоже можно так переложить лежащие в них монеты, что во всех открытых сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился стук в дверь, и старый скряга не успел проверить, можно ли разложить все монеты поровну по всем 77 сундукам. Можно ли, не заглядывая в сундуки, дать точный ответ на этот вопрос?
На электронных часах Казанского вокзала высвечиваются часы и минуты (например, 17:36). Сколько времени в течение суток на них
а) высвечивается цифра 2;
б) высвечиваются цифры 5 и 7 одновременно?
Петя и Вася живут в соседних домах (см. план на рисунке). Вася живет в четвёртом подъезде. Известно, что Пете, чтобы добежать до Васи кратчайшим путем (не обязательно идущим по сторонам клеток), безразлично, с какой стороны обегать свой дом. Определите, в каком подъезде живет Петя.
Назовём компанию k-неразбиваемой, если при любом разбиении её на k групп в одной из групп найдутся два знакомых человека. Дана 3-неразбиваемая компания, в которой нет четырёх попарно знакомых человек. Докажите, что её можно разделить на две компании, одна из которых 2-неразбиваемая, а другая – 1-неразбиваемая.
На отрезке AC взята точка B, и на отрезках AB, BC и CA построены полуокружности S1, S2 и S3 по одну сторону от AC; D — точка на S3, проекция которой на AC совпадает с точкой B. Общая касательная к S1 и S2 касается этих полуокружностей в точках F и E соответственно. Докажите, что
а) прямая EF параллельна касательной к S3, проведённой через точку D;
б) BFDE — прямоугольник.
|
|
 |
Условие
На отрезке AC взята точка B, и на отрезках AB, BC и CA построены полуокружности S1, S2 и S3 по одну сторону от AC; D — точка на S3, проекция которой на AC совпадает с точкой B. Общая касательная к S1 и S2 касается этих полуокружностей в точках F и E соответственно. Докажите, что
а) прямая EF параллельна касательной к S3, проведённой через точку D;
б) BFDE — прямоугольник.
Подсказка
Если O1, O2 и O3 — центры полуокружностей, а K — проекция O1 на O2E, то треугольники O1KO2 и DBO3 равны.
Решение
Пусть O1, O2 и O3 — центры полуокружностей соответственно S1, S2 и S3; r и R — радиусы полуокружностей соответственно S1 и S2 . Тогда радиус полуокружности S3 равен r + R.
Пусть K — основание перпендикуляра, опущенного из точки O1 на O2E. Тогда
В четырёхугольнике BFDE диагонали равны (т.к.
DB = FE = 2) и
точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, BFDE — прямоугольник.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 503 |
