На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD отметили точки E и F, так что AFCE – ромб. Известно, что  АВ = 16,  ВС = 12.  Найдите EF.

   Решение

Положительные числа x, y, z таковы, что  xyz = 1.  Докажите, что  

   Решение

При каких  n > 2  можно расставить целые числа от 1 до n по кругу так, чтобы сумма каждых двух соседних чисел делилась нацело на следующее за ними по часовой стрелке?

   Решение

Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке O, причём  AO = OD.  Докажите равенство треугольников ABC и DCB.

   Решение

На двух противоположных гранях игрального кубика нарисовано по одной точке, на двух других противоположных – по две точки, и на двух оставшихся – по три точки. Из восьми таких кубиков сложили куб 2×2×2 и посчитали суммарное число точек на каждой из его шести граней.
Могли ли получиться шесть последовательных чисел?

   Решение

Две окружности касаются друг друга внешним образом. Четыре точки A, B, C и D касания их общих внешних касательных последовательно соединены. Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность и найдите её радиус, если радиусы данных окружностей равны R и r.

   Решение

В треугольнике ABC на стороне AC взята точка M, а на стороне BC — точка N. Отрезки AN и BM пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника CMN, если площади треугольников OMA, OAB и OBN соответственно равны s₁, s₂ и s₃.

   Решение

В параллелограмме ABCD известно, что  AB = 4,  AD = 6.  Биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке M, при этом  AM = 4.
Найдите площадь четырёхугольника AMCD.

   Решение

Длины двух параллельных хорд окружности равны 40 и 48, расстояние между ними равно 22. Найдите радиус окружности.

   Решение

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Теорема синусов ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Длины двух параллельных хорд окружности равны 40 и 48, расстояние между ними равно 22. Найдите радиус окружности.

Подсказка

Проведите диагональ полученной трапеции и найдите радиус описанной окружности одного из получившихся треугольников.

Решение

  Пусть  AB = 48  и  CD = 40  – параллельные хорды. Найдём искомый радиус R.

  Первый способ. Опустим перпендикуляр CM на AB. Тогда  AM = 44,  BM = 4,  AC² = AM² + CM² = 44² + 22² = 5·22²,  BC² = CM² + BM² = 500,  S_ABC = 11AB,
R = ^AC·BC·AB/_4SABC = ^AC·BC/₄₄ = 25.

  Второй способ. По условию    Решив это уравнение, получим  R = 25.

Ответ

25.

Источники и прецеденты использования