Вершины выпуклого многоугольника расположены в узлах целочисленной решётки, причём ни одна из его сторон не проходит по линиям решётки. Докажите, что сумма длин горизонтальных отрезков линий решётки, заключённых внутри многоугольника, равна сумме длин вертикальных отрезков.

   Решение

Дана клетчатая доска размерами

а) 9 × 10;     б) 10 × 12;     в) 9 × 11.

За ход разрешается вычеркнуть любую горизонталь или любую вертикаль, если в ней к моменту хода есть хотя бы одна невычеркнутая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

   Решение

В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны m и n. Найдите площадь квадрата.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC угол ACB – прямой. Пусть E – точка пересечения биссектрисы угла ABC со стороной AC. Точка D – середина стороны AB,  O – точка пересечения отрезков BE и CD. Через точку O проведён перпендикуляр к BO до пересечения со стороной BC в точке F. Известно, что
FC = b,  OC = ^3b/₂.  Найдите площадь треугольника ABC.

   Решение

Доска имеет форму креста, который получается, если из квадратной доски 4×4 выкинуть угловые клетки.
Можно ли обойти её ходом шахматного коня и вернуться на исходное поле, побывав на всех полях ровно по разу?

   Решение

Высота CD треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AD и BD, причём AD ^. BD = CD². Верно ли, что треугольник ABC прямоугольный?

   Решение

В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в точке O. Найдите периметр трапеции, если BO = , OD = , ABD = 90^o.

   Решение

С помощью циркуля и линейки по данным отрезкам a, h и m постройте треугольник ABC со стороной BC = a, высотой BH = h и медианой а) BM = m; б) AM = m.

   Решение

Существуют ли арифметическая прогрессия, состоящая лишь из простых чисел?

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC на высоте AD взята точка M, а на высоте BP – точка N так, что углы BMC и ANC – прямые. Расстояние между точками M и N равно  4 + 2,  угол MCN равен 30°. Найдите биссектрису CL треугольника CMN.

   Решение

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Признаки подобия ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC на высоте AD взята точка M, а на высоте BP – точка N так, что углы BMC и ANC – прямые. Расстояние между точками M и N равно  4 + 2,  угол MCN равен 30°. Найдите биссектрису CL треугольника CMN.

Подсказка

Поскольку MD и NP – высоты прямоугольных треугольников BMC и ANC, проведённые из вершин прямых углов, то   CM² = BC·CD = AC·CP = CN².

Решение

  Из подобия прямоугольных треугольников ACD и BCP следует, что  CD : AC = CP : BC,  откуда  BC·CD = CP·AC.
  Поскольку MD и NP – высоты прямоугольных треугольников BMC и ANC, проведённые из вершин прямых углов, то  CM² = BC·CD = AC·CP = CN²,  поэтому  CM = CN.
  Биссектриса CL равнобедренного треугольника CMN является его высотой и медианой, следовательно,
CL = ML ctg∠MCL = ½ MN ctg 15° = = (2 + )² = 7 + 4.

Ответ

7 + 4.

Источники и прецеденты использования