z₂, z₁, z₀ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда     – вещественное число, или   = .

   Решение

Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений
    x² + y² + xy = a,
    x² – y² = b,
где а и b – некоторые данные действительные числа.

   Решение

В окружность радиуса 17 вписан четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и находятся на расстоянии 8 и 9 от центра окружности. Найдите стороны четырёхугольника.

   Решение

Докажите, что при n 7 внутри выпуклого n-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

   Решение

Каждая из трёх окружностей радиуса r касается двух других. Найдите площадь фигуры, расположенной вне окружностей и ограниченной их дугами, заключёнными между точками касания.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана прямая, на которой лежит его сторона, и основания биссектрис, проведённых из концов этой стороны.

   Решение

Докажите, что для любых комплексных чисел z, w справедливо равенство  e^ze^w = e^z+w.

   Решение

В окружность радиуса 13 вписан четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Одна из диагоналей равна 18, а расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей равно  4.  Найдите площадь четырёхугольника.

   Решение

Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, проходит через середину другой стороны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

   Решение

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, проходит через середину другой стороны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

Подсказка

Если высота треугольника является также медианой, то треугольник равнобедренный.

Решение

Пусть окружность, построенная на стороне AB треугольника ABC, пересекает сторону AC в её середине M. Поскольку точка M лежит на окружности с диаметром AB, то  ∠AMB = 90°.  Поэтому BM – высота и медиана треугольника ABC. Следовательно, треугольник ABC – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования