Версия для печати
Убрать все задачи

---

Перед вами замок "с секретом" (см. рисунок).

Если вы поставите стрелки на нужные буквы, то получите ключевое слово и замок откроется. Какое это слово?

   Решение

---

Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение \begin{align*} &a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\\+&a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots\\ \ldots+&a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0 \end{align*} имеет хотя бы один действительный корень.

   Решение

---

Боковые стороны трапеции равны 7 и 11, а основания — 5 и 15. Прямая, проведённая через вершину меньшего основания параллельно большей боковой стороне, отсекает от трапеции треугольник. Найдите его стороны.

   Решение

---

Докажите, что нечётное число, являющееся произведением n различных простых сомножителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно 2^n–1 различными способами.

   Решение

---

После экспериментов с мнимой единицей, Коля Васин занялся комплексной экспонентой. Пользуясь формулами задачи 61115, он смог доказать, что  sin x  всегда равен нулю, а  cos x  – единице:

Где ошибка в приведённых равенствах?

   Решение

---

Доказать, что любая ось симметрии 45-угольника проходит через его вершину.

   Решение

---

Илья всегда говорит правду, но когда ему задали дважды один и тот же вопрос, он дал на него разные ответы. Какой бы это мог быть вопрос?

   Решение

---

Докажите, что треугольник со сторонами a, b и c остроугольный тогда и только тогда, когда  a² + b² + c² > 8R².

   Решение

---

Восстановите алфавит племени Мумбо-Юмбо из задачи 2.6.

   Решение

---

Докажите, что треугольники abc и a'b'c' собственно подобны, тогда и только тогда, когда

   Решение

---

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов.

   Решение

---

Каждая из трёх прямых, параллельных сторонам и проходящих через центр вписанной окружности треугольника, отсекают от него некоторый треугольник. Докажите, что сумма периметров отсечённых треугольников вдвое больше периметра исходного треугольника.

   Решение

Темы:    [ Периметр треугольника ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Биссектриса угла ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Каждая из трёх прямых, параллельных сторонам и проходящих через центр вписанной окружности треугольника, отсекают от него некоторый треугольник. Докажите, что сумма периметров отсечённых треугольников вдвое больше периметра исходного треугольника.

Подсказка

Докажите, что периметр каждого из отсечённых треугольников равен сумме двух сторон данного треугольника.

Решение

  Пусть прямая, проходящая через центр O вписанной окружности треугольника ABC параллельно стороне BC, пересекает стороны AB и AC соответственно в точках X и Y. Тогда  ХO = XB,  YO = YC  (см. решение задачи 54180). Следовательно,   AX + XY + YA = AX + XB + AY + YC = AB + AC.
  Аналогично докажем, что периметр каждого из двух других отсечённых треугольников равен сумме двух соответствующих сторон треугольника ABC. Осталось почленно сложить три полученных равенства.

Источники и прецеденты использования