Окружность с центром O проходит через вершины A и B треугольника ABC и пересекает сторону AC в точке M и сторону BC в точке N. Углы AOM и BON равны 60^o. Расстояния от точки N до прямой AB равно 5. Отрезок MN в четыре раза меньше отрезка AB. Найдите площадь треугольника ABC.

   Решение

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠ABC = 90°),  касается сторон AB, BC, AC в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A₂. A₀ – центр окружности, описанной около треугольника A₁A₂B₁; аналогично определяется точка C₀. Найдите угол A₀BC₀.

   Решение

Дана незамкнутая ломаная ABCD, причём  AB = CD,  ∠ABC = ∠BCD  и точки A и D расположены по одну сторону от прямой BC. Докажите, что  AD || BC.

   Решение

Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через середину диагонали AC и пересекает сторону AB в точке M. Найдите отношение AM : AB, если AC = 3BD.

   Решение

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через середину диагонали AC и пересекает сторону AB в точке M. Найдите отношение AM : AB, если AC = 3BD.

Подсказка

Четырёхугольник ABCD — ромб и = = cosBAD.

Решение

Пусть Q — точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Вписанный угол AQD опирается на диаметр AD данной окружности. Поэтому AQD = 90^o. Следовательно, ABCD — ромб и AB = AD.

Пусть BAD = 2. Тогда

QAD = , tg = = = ,

cosBAD = cos 2 = = = .

= = cos 2 = .

Ответ

4:5.

Источники и прецеденты использования