Информация о задаче

Задача 54784

Тема:

[

Формула Герона

]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть S — площадь треугольника со сторонами a, b и c; p — его полупериметр. Докажите, что S = $\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ .

Решение

Первый способ.

Пусть CD = h — высота треугольника ABC, в котором BC = a, AC = b, AB = c. Предположим, что точка D лежит на стороне AB. Обозначим BD = x. Тогда AD = c - x. Отрезок CD — общий катет прямоугольных треугольников BCD и ACD, поэтому

BC² - BD² = AC² - AD², или a² - x² = b² - (c - x)²,

откуда

x = $\displaystyle {\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2c}}$ .

Значит,

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ch = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ c $\displaystyle \sqrt{a^{2} - x^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}c^{2} - c^{2}x^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{(ac-cx)(ac+cx)}$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \sqrt{(2ac - a^{2} - c^{2} + b^{2})(2ac + a^{2} + c^{2} - b^{2})}$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \sqrt{(b^{2} - (a - c)^{2}))(a + c)^{2} - b^{2})}$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \sqrt{(b - a + c)(b + a - c)(a + c - b)(a + c + b)}$ =

= $\displaystyle \sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot \frac{b+c-a}{2}\cdot \frac{a+c-b}{2}\cdot \frac{a+b-c}{2}}$ =

= $\displaystyle \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ .

Аналогично для случая, когда точка D лежит на продолжении стороны AB.

Второй способ.

Пусть стороны треугольника равны a, b и c, а угол, противолежащий стороне a, равен $\alpha$ . По теореме косинусов находим, что

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}}$ .

Тогда

S = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ bc sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ bc $\displaystyle \sqrt{1 - \cos ^{2}\alpha}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ bc $\displaystyle \sqrt{1 - \left(\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}\right)^{2}}$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \sqrt{4b^{2}c^{2}- (b^{2} + c^{2} - a^{2})^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \sqrt{(2bc - b^{2} - c^{2} + a^{2})(2bc + b^{2} + c^{2} - a^{2})}$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \sqrt{(a^{2} - (b - c)^{2}))(b + c)^{2} - a^{2})}$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \sqrt{(a - b + c)(a + b - c)(b + c - a)(b + c + a)}$ =

= $\displaystyle \sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot \frac{b+c-a}{2}\cdot \frac{a+c-b}{2}\cdot \frac{a+b-c}{2}}$ =

= $\displaystyle \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2730