Версия для печати
Убрать все задачи

---

Окружность с центром O проходит через вершины A и B треугольника ABC и пересекает сторону AC в точке M и сторону BC в точке N. Углы AOM и BON равны 60^o. Расстояния от точки N до прямой AB равно 5. Отрезок MN в четыре раза меньше отрезка AB. Найдите площадь треугольника ABC.

   Решение

---

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠ABC = 90°),  касается сторон AB, BC, AC в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A₂. A₀ – центр окружности, описанной около треугольника A₁A₂B₁; аналогично определяется точка C₀. Найдите угол A₀BC₀.

   Решение

---

Дана незамкнутая ломаная ABCD, причём  AB = CD,  ∠ABC = ∠BCD  и точки A и D расположены по одну сторону от прямой BC. Докажите, что  AD || BC.

   Решение

---

Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через середину диагонали AC и пересекает сторону AB в точке M. Найдите отношение AM : AB, если AC = 3BD.

   Решение

---

В трапеции ABCD диагонали пересекаются под прямым углом, а одно основание в два раза больше другого. Отношение боковых сторон трапеции равно m. Найдите боковые сторон трапеции, если сумма квадратов диагоналей равна d².

   Решение

---

Две окружности пересекаются в точках K и L. Их центры расположены по одну сторону от прямой, содержащей отрезок KL. Точки A и B лежат на разных окружностях. Прямая, содержащая отрезок AK, касается одной окружности в точке K. Прямая, содержащая отрезок BK, касается другой окружности также в точке K. Известно, что  AL = 3,  BL = 6,  а  tg∠AKB = – ½.  Найдите площадь треугольника AKB.

   Решение

---

Через точку O, взятую на стороне правильного треугольника ABC, проведены прямые, параллельные сторонам AB и AC, и пересекающие стороны AC и AB в точках K и L соответственно. Окружность, проходящая через точки O, K и L пересекает стороны AC и AB соответственно в точках Q и P, отличных от K и L. Докажите, что треугольник OPQ — равносторонний.

   Решение

---

Окружности с центрами O₁ и O₂ имеют общую хорду AB, AO₁B = 60^o. Отношение длины первой окружности к длине второй равно . Найдите угол AO₂B.

   Решение

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружности с центрами O₁ и O₂ имеют общую хорду AB, AO₁B = 60^o. Отношение длины первой окружности к длине второй равно . Найдите угол AO₂B.

Подсказка

Выразите через радиус меньшей окружности стороны треугольника AO₂B.

Решение

Пусть R и r — радиусы окружностей с центрами O₁ и O₂ соответственно. По условию

Поэтому R = r. Треугольник AO₁B — равносторонний, поэтому

Боковые стороны равнобедренного треугольника AO₂B равны r, а основание AB = r. Тогда

Следовательно, треугольник AO₂B — прямоугольный и AO₂B = 90^o.

Ответ

90^o.

Источники и прецеденты использования