Докажите, что если a, b, c и d — длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, а m и n — длины его диагоналей, то m²n² = a²c² + b²d² - 2abcd cos(A + C) (Бретшнейдер).

   Решение

В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A₀, B₀, C₀ соответственно. При этом
∠A₀BB' = ∠B₀CC' = ∠C₀AA'.
  а) Чему могут равняться эти углы?
  б) Докажите, что отрезки AA₀, BB₀, CC₀ пересекаются в одной точке.
  в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник.

   Решение

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
  а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
  б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

   Решение

Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите, что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника ACD.

   Решение

Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и сумме двух других сторон.

   Решение

Два выпуклых многоугольника A₁A₂...A_n и B₁B₂...B_n  (n ≥ 4)  таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABCC = 90^o. На продолжении гипотенузы AB отложен отрезок BD, равный катету BC, и точка D соединена с C. Найдите CD, если BC = 7 и AC = 24.

   Решение

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABCC = 90^o. На продолжении гипотенузы AB отложен отрезок BD, равный катету BC, и точка D соединена с C. Найдите CD, если BC = 7 и AC = 24.

Подсказка

Найдите cosABC из прямоугольного треугольника ABC.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования