Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Какое число больше: 3111 или 1714?

Вниз   Решение

Автор: Фельдман Г.

Дан остроугольный треугольник ABC; AA1, BB1 – его высоты. Из точки A1 опустили перпендикуляры на прямые AC и AB, а из точки B1 опустили перпендикуляры на прямые BC и BA. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.

ВверхВниз   Решение

Автор: Алексеев В.Б.

Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладётся в её конец. Через некоторое число минут после включения конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите  а) наименьшее такое число,  б) все такие числа.

ВверхВниз   Решение

Во что перейдёт треугольник с вершинами в точках: 0,  1 – i,  1 + i  в результате преобразования  

ВверхВниз   Решение

Автор: Васильев Н.Б.

В круглый бокал, осевое сечение которого — график функции y = x4, опускают вишенку — шар радиуса r. При каком наибольшем r шар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиус r круга, лежащего в области y$ \ge$x4 и содержащего начало координат?)

ВверхВниз   Решение

Авторы: Кондаков Г.В., Ковальджи А.К.

Придумайте многогранник, у которого нет трех граней с одинаковым числом сторон.

ВверхВниз   Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Докажите, что для любого натурального числа N найдутся такие две пары натуральных чисел, что суммы в парах одинаковы, а произведения отличаются ровно в N раз.

ВверхВниз   Решение

Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD, O — произвольная точка. Докажите, что

$\displaystyle \overrightarrow{OM} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$($\displaystyle \overrightarrow{OA} $ + $\displaystyle \overrightarrow{OB} $ + $\displaystyle \overrightarrow{OC} $ + $\displaystyle \overrightarrow{OD}$).

Вверх   Решение

Задача 55357
Темы:    [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ]
[ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD, O — произвольная точка. Докажите, что

$\displaystyle \overrightarrow{OM} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$($\displaystyle \overrightarrow{OA} $ + $\displaystyle \overrightarrow{OB} $ + $\displaystyle \overrightarrow{OC} $ + $\displaystyle \overrightarrow{OD}$).


Подсказка

$ \overrightarrow{OM} $ = $ {\frac{1}{2}}$($ \overrightarrow{OA} $ + $ \overrightarrow{OC}$) = $ {\frac{1}{2}}$($ \overrightarrow{OB} $ + $ \overrightarrow{OD}$).


Решение

Сложив почленно равенства

$\displaystyle \overrightarrow{OM} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{OA} $ + $\displaystyle \overrightarrow{OC} $), $\displaystyle \overrightarrow{OM} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{OB} $ + $\displaystyle \overrightarrow{OD}$),

получим, что

2$\displaystyle \overrightarrow{OM} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{OA} $ + $\displaystyle \overrightarrow{OC} $ + $\displaystyle \overrightarrow{OB} $ + $\displaystyle \overrightarrow{OD}$).

Следовательно,

$\displaystyle \overrightarrow{OM} $ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$($\displaystyle \overrightarrow{OA} $ + $\displaystyle \overrightarrow{OB} $ + $\displaystyle \overrightarrow{OC} $ + $\displaystyle \overrightarrow{OD}$).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4506
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .