В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB=c , A = α . Найдите радиус окружности, касающейся катета AC , гипотенузы AB и окружности, описанной около треугольника ABC .

   Решение

Три шара радиусов 1, 3 и 4 расположены так, что каждый из них касается двух других шаров и двух данных плоскостей. Найдите расстояние между точками касания первого из этих шаров с плоскостями.

   Решение

Основания трапеции равны 2 и 12, а диагонали – 6 и 10. Найдите угол между диагоналями.

   Решение

Прямая OA касается окружности в точке A, а хорда BC параллельна OA. Прямые OB и OC вторично пересекают окружность в точках K и L.
Докажите, что прямая KL делит отрезок OA пополам.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Прямая OA касается окружности в точке A, а хорда BC параллельна OA. Прямые OB и OC вторично пересекают окружность в точках K и L.
Докажите, что прямая KL делит отрезок OA пополам.

Подсказка

Если M – точка пересечения прямых AO и KL, то треугольники MOL и MKO подобны.

Решение

  Пусть лучи AO и BC сонаправлены. Обозначим через M точку пересечения прямых AO и KL. Тогда  ∠MOL = ∠BCL = ∠BKL = ∠MKO.
  Поэтому треугольники MOL и MKO подобны. Следовательно,  MO : ML = MK : OM,  или  OM² = ML·MK.
  С другой стороны, по теореме о касательной и секущей  AM² = ML·MK.  Следовательно,  AM = OM.

Источники и прецеденты использования