Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри квадрата расположены три окружности, каждая из которых касается внешним образом двух других, а также касается двух сторон квадрата. Докажите, что радиусы двух из данных окружностей одинаковы.

   Решение

---

Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а один – с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)

   Решение

---

Незнайка утверждает, что он может провести на плоскости 4 прямые так, чтобы их суммарное количество точек пересечения равнялось пяти и 5 прямых так, чтобы их суммарное количество точек пересечения равнялось четырем. Прав ли он?

   Решение

---

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Продолжение стороны AB за точку B пересекается с продолжением стороны DC за точку C в точке E. Найдите угол BAD, если AB = 2, BD = 2, CD = 5, BE : EC = 4 : 3.

   Решение

---

Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{c}{d} + \frac{d}{c}.$$ Докажите, что произведение каких-то двух чисел из $a$, $b$, $c$, $d$ равно произведению двух других.

   Решение

---

Из произвольной точки M окружности, описанной около прямоугольника, опустили перпендикуляры MP и MQ на две его противоположные стороны, и перпендикуляры MR и MT — на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны друг другу, а их точка пересечения принадлежит диагонали прямоугольника.

   Решение

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из произвольной точки M окружности, описанной около прямоугольника, опустили перпендикуляры MP и MQ на две его противоположные стороны, и перпендикуляры MR и MT — на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны друг другу, а их точка пересечения принадлежит диагонали прямоугольника.

Подсказка

Пусть точки P и Q принадлежат сторонам AB и CD прямоугольника ABCD, а точки T и R — продолжениям сторон AD и BC (рис.1). Опишем окружность около прямоугольника APMT. Пусть N — точка пересечения отрезка TQ с этой окружностью (отличная от T). Докажите, что APN = RPB.

Решение

Пусть точки P и Q принадлежат сторонам AB и CD прямоугольника ABCD, а точки T и R — продолжениям сторон AD и BC (рис.1). Опишем окружность около прямоугольника APMT. Пусть N — точка пересечения отрезка TQ с этой окружностью (отличная от T). Тогда

Поэтому точка N лежит на прямой RP, а т.к. TNP = TAP = 90^o, то PR QT.

Поскольку QNR = QCR = 90^o, то точки N, Q, C, R лежат на одной окружности (рис.2). Поэтому

Следовательно, точка N лежит на прямой AC.

Пусть точки P и Q принадлежат сторонам AB и CD прямоугольника ABCD, а точки T и R — продолжениям сторон AD и BC (рис.3). Четырёхугольник AM₂CM₁ — прямоугольник (все его углы — прямые, поскольку AC и M₁M₂ — диаметры данной окружности), а четырёхугольники AM₂RP и ATQM₁ — параллелограммы (поскольку M₂R = AP, M₂R || AP и AT = M₁Q, AT || M₁Q). Поэтому PR || AM₂ и TQ || AM₁, а т.к. AM₂ AM₁, то PR TQ.

Пусть N — точка пересечения прямых PR и TQ. Докажем, что прямоугольники AFNG и AM₂CM₁ подобны (отсюда будет следовать, что точка N принадлежит диагонали AC).

Обозначим

Тогда

Поэтому = = . Следовательно, прямоугольники AFNG и AM₂CM₁ подобны.

Источники и прецеденты использования