Можно ли раскрасить грани куба в три цвета так, чтобы каждый цвет присутствовал, но нельзя было увидеть одновременно грани всех трёх цветов, откуда бы мы ни взглянули на куб? (Одновременно можно увидеть только три любые грани, имеющие общую вершину.)

   Решение

Темы:    [ Окружности, вписанные в сегмент ] [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности, вписанные в сегмент AB данной окружности, пересекаются в точках M и N. Докажите, что прямая MN проходит через середину C дополнительной дуги данного сегмента AB.

Решение

Согласно задаче 56699 б) длины касательных, проведённых из точки C к вписанным окружностям, равны. Следовательно, точка C лежит на радикальной оси этих окружностей, то есть
на прямой MN.

Замечания

Если окружности не пересекаются, а касаются, утверждение остается верным; в этом случае прямую MN нужно заменить на касательную к окружностям в их общей точке.

Источники и прецеденты использования