Докажите, что  ABC > 90^o тогда и только тогда, когда точка B лежит внутри окружности с диаметром AC.

   Решение

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку A первой окружности проведены прямые AP и AQ, пересекающие вторую окружность в точках B и C. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна прямой BC.

   Решение

Из общей точки проведены к окружности две касательные. Радиус окружности равен 11, а сумма касательных равна 120.
Найдите расстояние от центра до общей точки касательных.

   Решение

Пусть связный плоский граф с V вершинами и E рёбрами разрезает плоскость на F кусков. Докажите формулу Эйлера:  V – E + F = 2.

   Решение

C — точка на продолжении диаметра AB, CD — касательная, угол ADC равен 110^o. Найдите угловую величину дуги BD.

   Решение

Какие остатки могут получиться при делении  n³ + 3  на  n + 1  при натуральном  n > 2?

   Решение

Чему равна площадь треугольника со сторонами 18, 17, 35?

   Решение

Существует ли целое число, произведение цифр которого равно  а) 1980?  б) 1990?  в) 2000?

   Решение

Окружность касается одной из сторон угла в его вершине A и пересекает другую сторону в точке B. Угол равен 40°, M – точка на меньшей дуге AB.
Найдите угол AMB.

   Решение

Докажите, что из точки A, лежащей вне окружности, можно провести ровно две касательные к окружности, причем длины этих касательных (т. е. расстояния от A до точек касания) равны.

   Решение

Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна $\frac12 d_1 d_2\sin\varphi$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\varphi$ — угол между ними.

   Решение

Тема:    [ Площадь (прочее) ]

Сложность: 2- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна $\frac12 d_1 d_2\sin\varphi$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\varphi$ — угол между ними.

Решение

Пусть диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $\angle AOB = \varphi.$ Тогда $$S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{AOD} = $$ $$= \frac12 AO \cdot OB \sin \varphi + \frac12 BO \cdot OC \sin (180^\circ -\varphi) + \frac12 CO \cdot OD \sin \varphi + \frac12 DO \cdot OA \sin (180^\circ -\varphi) = $$ $$= \frac12 \sin \varphi \cdot (AO \cdot OB + BO \cdot OC + CO \cdot OD + DO \cdot OA) = $$ $$= \frac12 \sin \varphi \cdot \big( (AO+CO) \cdot OB + (CO+AO) \cdot OD\big) = \frac12 \sin \varphi \cdot (AO+CO) \cdot (OB+OD) = \frac12 AC \cdot BD \cdot \sin \varphi.$$

Источники и прецеденты использования