Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что из любого выпуклого четырёхугольника можно вырезать три его копии вдвое меньшего размера.

   Решение

---

Докажите, что среди вершин выпуклого девятиугольника можно найти три, образующие тупоугольный треугольник, ни одна сторона которого не совпадает со сторонами девятиугольника.

   Решение

---

Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁.
  а) Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
  б) Пусть A₂ – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA₁ и AA₂ симметричны относительно биссектрисы угла A.

   Решение

---

а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле

где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырехугольник ABCD вписанный, то  S² = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ).
в) Докажите, что если четырехугольник ABCD описанный, то  S² = abcd sin²((B + D)/2).

   Решение

---

Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O; M и N — середины сторон AB и CD, P и Q — середины диагоналей AC и BD. Докажите, что:
а)  S_PMQN = | S_ABD - S_ACD|/2;
б)  S_OPQ = S_ABCD/4.

   Решение

---

Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая ломаная без самопересечений. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченной ею части доски общая площадь чёрных кусков равна общей площади белых кусков.

   Решение

---

Целые числа a, x₁, x₂, ..., x₁₃ таковы, что  a = (1 + x₁)(1 + x₂)...(1 + x₁₃) = (1 – x₁)(1 – x₂)...(1 – x₁₃).  Докажите, что  ax₁x₂...x₁₃ = 0.

   Решение

---

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

   Решение

Темы:    [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

Решение

Обозначим площади частей фигуры, на которые ее делят прямые, так, как показано на рис. Площадь всей фигуры обозначим через S. Так как  S₃ + (S₂ + S₇) = S/2 = S₁ + S₆ + (S₂ + S₇), то  S₃ = S₁ + S₆. Складывая это равенство с равенством  S/2 = S₁ + S₂ + S₃ + S₄, получаем  S/2 = 2S₁ + S₂ + S₄ + S₆ 2S₁, т. е.  S₁ S/4.

Источники и прецеденты использования