Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что если  ∠A = 45°,  то B₁C₁ – диаметр окружности девяти точек треугольника ABC.

   Решение

---

На сторонах квадрата, как на основаниях, построены во внешнюю сторону равные равнобедренные треугольники с острым углом при вершине. Доказать, что получившуюся фигуру нельзя разбить на параллелограммы.

   Решение

---

Дано n целых чисел  a₁ = 1,  a₂, a₃, ..., a_n, причём   a_i ≤ a_i+1 ≤ 2a_i  (i = 1, 2,..., n – 1)  и сумма всех чисел чётна. Можно ли эти числа разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были равны?

   Решение

---

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A₁, B₁ и C₁, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны и прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Числа 1, 2, ..., k² расположены в квадратную таблицу

Произвольное число выписывается, после чего из таблицы вычеркивается строка и столбец, содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся таблицей из  (k – 1)²  чисел и т.д. k раз. Найти сумму выписанных чисел.

   Решение

---

На плоскости P стоит прямой круговой конус. Радиус основания r, высота — h. На расстоянии H от плоскости и l от высоты конуса находится источник света. Какую часть окружности радиуса R, лежащей в плоскости P и концентрической с окружностью, лежащей в основании конуса, осветит этот источник?

   Решение

---

В турнире собираются принять участие 25 шахматистов. Все они играют в разную силу, и при встрече всегда побеждает сильнейший.
Какое наименьшее число партий требуется, чтобы определить двух сильнейших игроков?

   Решение

---

Как надо расположить числа  1, 2, ..., 2n  в последовательности  a₁, a₂, ..., a_2n,  чтобы сумма  |a₁ – a₂| + |a₂ – a₃| + ... + |a_2n–1 – a_2n| + |a_2n – a₁|  была наибольшей?

   Решение

---

Как надо расположить числа 1, 2, ..., 1962 в последовательности a₁, a₂, ..., a₁₉₆₂, чтобы сумма  |a₁ – a₂| + |a₂ – a₃| + ... + |a₁₉₆₁ – a₁₉₆₂| + |a₁₉₆₂ – a₁|  была наибольшей?

   Решение

---

Треугольник, составленный:  а) из медиан;  б) из высот треугольника ABC, подобен треугольнику ABC.
Каким соотношением связаны длины сторон треугольника ABC?

   Решение

---

Между зажимами A и B включено несколько сопротивлений. Каждое сопротивление имеет входной и выходной зажимы. Какое наименьшее число сопротивлений необходимо иметь и какова может быть схема их соединения, чтобы при порче любых девяти сопротивлений цепь оставалась соединяющей зажимы A и B, но не было короткого замыкания? (Порча сопротивления: короткое замыкание или обрыв.)

   Решение

---

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°.
Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.

   Решение

Тема:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°.
Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.

Решение

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ не может быть двух пар соответственных углов, составляющих в сумме 180°, так как иначе их сумма равна 360° и третьи углы треугольников должны быть нулевыми. Предположим теперь, что углы первого треугольника равны α, β и γ, а углы второго равны  180° – α, β и γ. Сумма углов двух треугольников равна 360°, поэтому  180° + 2β + 2γ = 360°,  то есть  β + γ = 90°.  Следовательно,  α = 90° = 180° – α.

Источники и прецеденты использования