Каждые две из 13 ЭВМ соединены своим проводом.
Можно ли раскрасить каждый из этих проводов в один из 12 цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило 12 проводов разного цвета?

   Решение

Докажите, что если a > b, то m_a < m_b.

   Решение

Увеличится или уменьшится сумма  ,  если все слагаемые в ней заменить на ¹/₁₅₀?

   Решение

По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

   Решение

Периметры треугольников ABM, BCM и ACM, где M — точка пересечения медиан треугольника ABC, равны. Докажите, что треугольник ABC правильный.

   Решение

Докажите неравенство для положительных значений переменных:
≥ + .

   Решение

  а) В Стране Чудес есть три города A, B и C. Из города A в город B ведет 6 дорог, а из города B в город C – 4 дороги.
Сколькими cпособами можно проехать от A до C?
  б) В Стране Чудес построили еще один город D и несколько новых дорог – две из A в D и две из D в C.
Сколькими способами можно теперь добраться из города A в город C?

   Решение

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали.
Может ли при этом получиться доска, у которой ровно одна чёрная клетка?

   Решение

Докажите неравенство   ≤   для положительных значений переменных.

   Решение

Докажите, что   ≥ .

   Решение

Две окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Точки C и D, лежащие соответственно на ω₁ и ω₂ по разные стороны от прямой AB, равноудалены от этой прямой. Докажите, что точки C и D равноудалены от середины отрезка O₁O₂.

   Решение

Докажите, что расстояние от точки (x₀, y₀) до прямой ax + by + c = 0 равно .

   Решение

Пусть P и Q — первая и вторая точки Брокара треугольника ABC. Прямые CP и BQ, AP и CQ, BP и AQ пересекаются в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что описанная окружность треугольника A₁B₁C₁ проходит через точки P и Q.

   Решение

Тема:    [ Точки Брокара ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть P и Q — первая и вторая точки Брокара треугольника ABC. Прямые CP и BQ, AP и CQ, BP и AQ пересекаются в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что описанная окружность треугольника A₁B₁C₁ проходит через точки P и Q.

Решение

Треугольник ABC₁ равнобедренный, причем угол при его основании AB равен углу Брокара . Поэтому  (PC₁, C₁Q) = (BC₁, C₁A) = 2. Аналогично  (PA₁, A₁Q) = (PB₁, B₁Q) = (PC₁, C₁Q) = 2.

Источники и прецеденты использования