Версия для печати
Убрать все задачи

---

Угол, образованный лучами  y = x  и  y = 2x  при  x ≥ 0,  высекает на параболе  y = x² + px + q  две дуги. Эти дуги спроектированы на ось Ox. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.

   Решение

---

Три человека A, B, C пересчитали кучу шариков четырёх цветов (см. таблицу).

При этом каждый из них правильно различал какие-то два цвета, а два других мог путать: один путал красный и оранжевый, другой – оранжевый и жёлтый, а третий – жёлтый и зелёный. Результаты их подсчётов приведены в таблице. Сколько каких шариков было на самом деле?

   Решение

---

Стороны правильного шестиугольника раскрашены через одну в красный и синий цвета. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри шестиугольника, до прямых, содержащих красные стороны, равна сумме расстояний от этой точки до прямых, содержащих синие стороны.

   Решение

---

Доказать, что число вида  n⁴ + 2n² + 3  не может быть простым.

   Решение

---

Докажите, что точка Лемуана треугольника ABC с прямым углом C является серединой высоты CH.

   Решение

Тема:    [ Точка Лемуана ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что точка Лемуана треугольника ABC с прямым углом C является серединой высоты CH.

Решение

Пусть L, M и N — середины отрезков CA, CB и CH. Так как  BAC CAH, то  BAM CAN, а значит,  BAM = CAN. Аналогично  ABL = CBN.

Источники и прецеденты использования