Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Внутри треугольника выбрана точка P такая, что

ÐPBA + ÐPCA = ÐPBC + ÐPCB.
Докажите, что AP ≥ AI, причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда P совпадает с I.

   Решение

---

Сторона AB треугольника ABC равна c. На стороне AB взята такая точка M, что  ∠CMA = φ.
Найдите расстояние между ортоцентрами треугольников AMC и BMC.

   Решение

---

На плоскости даны две точки A и B. Найдите ГМТ M, для которых AM : BM = k (окружность Аполлония).

   Решение

---

а) Через точку Лемуана K проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (первая окружность Лемуана) .
б) Через точку Лемуана K проведены прямые, антипараллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (вторая окружность Лемуана).

   Решение

Тема:    [ Точка Лемуана ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Через точку Лемуана K проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (первая окружность Лемуана) .
б) Через точку Лемуана K проведены прямые, антипараллельные сторонам треугольника. Докажите, что точки их пересечения со сторонами треугольника лежат на одной окружности (вторая окружность Лемуана).

Решение

а) Воспользуемся обозначениями задачи 5.145B. В рассматриваемой ситуации длины отрезков A₁B₂, B₁C₂ и C₁A₂ равны, поскольку они равны половинам длин антипараллелей, проходящих через точку K, а длины этих антипараллелей равны согласно задаче 5.131. Таким образом, первая окружность Лемуана является одной из окружностей Тукера. Эта окружность соответствует случаю, когда треугольник A'B'C' вырождается в точку K. Поэтому согласно задаче 5.145B1 центром первой окружности Лемуана служит середина отрезка KO.
б) Непосредственно следует из задачи 5.131, поскольку точка Лемуана делит пополам каждую из проходящих через нее антипараллелей. Центром второй окружности Лемуана служит точка Лемуана K.

Источники и прецеденты использования