Имеется куб размером 10×10×10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре O одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика, имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент; причём так, чтобы расстояние до точки O увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика, противоположного исходному?

   Решение

Ладья стоит на поле a1. За ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8.

   Решение

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b , а плоский угол при вершине равен α . Найдите длину кратчайшего замкнутого пути по поверхности пирамиды, начинающегося и заканчивающегося в вершине основания и пересекающего все боковые рёбра пирамиды.

   Решение

В стране из каждого города выходит 100 дорог и от каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт.
Докажите, что и теперь от каждого города можно добраться до любого другого.

   Решение

Докажите, что существует граф с 2n вершинами, степени которых равны 1, 1, 2, 2, ..., n, n.

   Решение

Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий – ездить в магазин за продуктами, а каждый пятый день – решать задачи по математике. (В первый день Петя сделал и первое, и второе, и третье и очень устал.) Сколько будет у Пети "приятных" дней, когда нужно будет купаться, но не нужно ни ездить в магазин, ни решать задачи? Сколько "скучных", когда совсем не будет никаких дел?

   Решение

Докажите, что при  n > 2  числа  2ⁿ – 1  и  2ⁿ + 1  не могут быть простыми одновременно.

   Решение

Пусть  {p_n} – последовательность простых чисел  (p₁ = 2,  p₂ = 3,  p₃ = 5, ...).
  а) Докажите, что  p_n > 2n  при  n ≥ 5.
  б) При каких n будет выполняться неравенство  p_n > 3n?

   Решение

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁. Биссектрисы AA₁ и CC₁ пересекают отрезки C₁B₁ и B₁A₁ в точках M и N. Докажите, что  MBB₁ = NBB₁.

   Решение

На двух параллельных прямых a и b выбраны точки A₁, A₂, ..., A_m и B₁, B₂, ..., B_n соответственно и проведены все отрезки вида A_iB_j
(1 ≤ i ≤ m,  1 ≤ j ≤ n).  Сколько будет точек пересечения, если известно, что никакие три из этих отрезков в одной точке не пересекаются?

   Решение

Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.

   Решение

Тема:    [ Четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 6+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.

Решение

Достаточно проверить, что ортоцентры любых трех из данных четырех треугольников лежат на одной прямой. Пусть некоторая прямая пересекает прямые  B₁C₁, C₁A₁ и A₁B₁ в точках A, B и C соответственно; A₂, B₂ и C₂ — ортоцентры треугольников  A₁BC, AB₁C и ABC₁. Прямые AB₂ и A₂B перпендикулярны прямой A₁B₁, поэтому они параллельны. Аналогично  BC₂| B₂C и  CA₂| C₂A. Точки A, B и C лежат на одной прямой, поэтому точки A₂, B₂ и C₂ тоже лежат на одной прямой (см. задачу 1.12, б)).

Источники и прецеденты использования