Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c  (AB = c,  BC = a,  CA = b  и  a < b < c).  На лучах BC и AC отмечены соответственно такие точки B₁ и A₁, что  BB₁ = AA₁ = c.  На лучах CA и BA отмечены соответственно такие точки C₂ и B₂, что  CC₂ = BB₂ = a.  Найти  A₁B₁ : C₂B₂.

   Решение

В треугольнике ABC  ∠A = 45°,  BH – высота, точка K лежит на стороне AC, причём  BC = CK.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABK совпадает с центром вневписанной окружности треугольника BCH.

   Решение

Найдите ближайшее целое число к числу x, если  x = .

   Решение

Доказать, что равенство  x² + y² + z² = 2xyz  для целых x, y и z возможно только при  x = y = z = 0.

   Решение

Докажите, что множество точек X, обладающих тем свойством, что  k₁A₁X² + ... + k_nA_nX² = c:
а) при  k₁ + ... + k_n 0 является окружностью или пустым множеством;
б) при  k₁ + ... + k_n = 0 является прямой, плоскостью или пустым множеством.

   Решение

Плоскость, заданная уравнением x+2y+3z=0, разбивает пространство на два полупространства. Узнайте, в одном или в разных полупространствах лежат точки (1,2,-2) и (2,1,-1).

   Решение

Даны две окружности, одна из которых лежит внутри другой. Из произвольной точки C внешней окружности проведены касательные к внутренней, вторично пересекающие внешнюю в точках A и B. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников ABC.

   Решение

У игрока в преферанс оказалось 4 козыря, а еще 4 находятся на руках у двух его противников. Какова вероятность того, что козыри лягут а) 2 : 2; б) 3 : 1; в) 4 : 0?

   Решение

Вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Пусть Q — середина отрезка A₁B₁. Докажите, что B₁C₁C = QC₁A₁.

   Решение

Тема:    [ Теорема Птолемея ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Пусть Q — середина отрезка A₁B₁. Докажите, что B₁C₁C = QC₁A₁.

Решение

Пусть P — вторая точка пересечения отрезка CC₁ с вписанной окружностью. Тогда AB₁C₁ = B₁PC₁, поэтому CPB₁ CB₁C₁, а значит, PB₁/B₁C₁ = CP/CB₁. Аналогично доказывается, что CP/CA₁ = PA₁/A₁C₁. Учитывая, что CA₁ = CB₁, получаем PB₁ ^. A₁C₁ = PA₁ ^. B₁C₁.
По теореме Птолемея PB₁ ^. A₁C₁ + PA₁ ^. B₁C₁ = PC₁ ^. A₁B₁, т.е. 2PB₁ ^. A₁C₁ = 2PC₁ ^. QA₁. Ясно также, что B₁PC₁ = QA₁C₁. Поэтому B₁PC₁ QA₁C₁, а значит, BC₁P = QC₁A₁.
Замечание. Утверждение задачи можно переформулировать следующим образом: точка Жергонна треугольника ABC совпадает с точкой Лемуана треугольника A₁B₁C₁.

Источники и прецеденты использования