Информация о задаче

Выбрано 9 задач

Пусть O_a, O_b и O_c — центры описанных окружностей треугольников PBC, PCA и PAB. Докажите, что если точки O_a и O_b лежат на прямых PA и PB, то точка O_c лежит на прямой PC.

Решение

Найдите объём правильного октаэдра (правильного восьмигранника), ребро которого равно a .

Решение

а) ctg( $\alpha$ /2) + ctg( $\beta$ /2) + ctg( $\gamma$ /2) $\geq$ 3 $\sqrt{3}$ .
б) Для остроугольного треугольника

tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ + tg $\displaystyle \gamma$ $\displaystyle \geq$ 3 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Решение

Автор: Кондаков Г.В.

Ширина реки один километр. Это по определению означает, что от любой точки каждого берега можно доплыть до противоположного берега, проплыв не больше километра. Может ли катер проплыть по реке так, чтобы в любой момент расстояние до любого из берегов было бы не больше:
а) 700 м?
б) 800 м?
(Берега состоят из отрезков и дуг окружностей.)

Решение

Какое наибольшее число острых углов может встретиться в выпуклом многоугольнике?

Решение

В клетках квадрата 3×3 расставлены числа (рис. слева). Разрешается к числам, стоящим в двух соседних клетках, одновременно прибавлять одно и то же число, не обязательно положительное. Можно ли в какой-то момент получить такой квадрат с числами, как на рисунке справа? (Клетки считаются соседними, если имеют общую сторону.)

Решение

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

а) ;	д) ;
б) ;	е) ;
в) ;	ж) .
г) ;

Решение

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно, причём

$\displaystyle {\frac{AC_{1}}{C_{1}B}}$ = $\displaystyle {\frac{BA_{1}}{A_{1}C}}$ = $\displaystyle {\frac{CB_{1}}{B_{1}A}}$ = 2.

Найдите площадь треугольника A₁B₁C₁, если площадь треугольника ABC равна 1.

Решение

а) Пусть A, B, C и D — произвольные точки плоскости. Докажите, что ( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{CD}$ ) + ( $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{AD}$ ) + ( $\overrightarrow{CA}$ , $\overrightarrow{BD}$ ) = 0.
б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Решение

Условие

Решение

Источники и прецеденты использования