Даны окружность, прямая и точки A, A', B, B', C, C', M, лежащие на этой прямой. Согласно задачам 30.1 и 30.3 существует единственное проективное преобразование данной прямой на себя, отображающее точки A, B, C соответственно в A', B', C'. Обозначим это преобразование через P. Постройте при помощи одной линейки а) точку P(M); б) неподвижные точки отображения P (задача Штейнера).

   Решение

На сторонах AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки E и F. Пусть K, L, M и N — середины отрезков DE, BF, CE и AF. Докажите, что четырехугольник KLMN выпуклый и его площадь не зависит от выбора точек E и F.

   Решение

Детали полотна игрушечной железной дороги имеют форму четверти окружности радиуса R. Докажите, что последовательно присоединяя их концами так, чтобы они плавно переходили друг в друга, нельзя составить путь, у которого начало совпадает с концом, а первое и последнее звенья образуют тупик, изображенный на рис.

   Решение

а) Можно ли замостить костями домино размером 1×2 шахматную доску размером 8×8, из которой вырезаны два противоположных угловых поля?
б) Докажите, что если из шахматной доски размером 8×8 вырезаны две произвольные клетки разного цвета, то оставшуюся часть доски всегда можно замостить костями домино размером 1×2.

   Решение

Даны две окружности S₁, S₂ и прямая l. Проведите прямую l₁, параллельную прямой l, так, чтобы:
а) расстояние между точками пересечения l₁ с окружностями S₁ и S₂ имело заданную величину a;
б) S₁ и S₂ высекали на l₁ равные хорды;
в) S₁ и S₂ высекали на l₁ хорды, сумма (или разность) длин которых имела бы заданную величину a.

   Решение

Темы:    [ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны две окружности S₁, S₂ и прямая l. Проведите прямую l₁, параллельную прямой l, так, чтобы:
а) расстояние между точками пересечения l₁ с окружностями S₁ и S₂ имело заданную величину a;
б) S₁ и S₂ высекали на l₁ равные хорды;
в) S₁ и S₂ высекали на l₁ хорды, сумма (или разность) длин которых имела бы заданную величину a.

Решение

а) Пусть S₁' — образ окружности S₁ при параллельном переносе на вектор длиной a, параллельный прямой l (таких векторов два). Искомая прямая проходит через точку пересечения окружностей S₁' и S₂.
б) Пусть O₁ и O₂ — проекции центров окружностей S₁ и S₂ на прямую l; S₁' — образ окружности S₁ при параллельном переносе на вектор . Искомая прямая проходит через точку пересечения окружностей S₁' и S₂.
в) Пусть S₁' — образ окружности S₁ при параллельном переносе на некоторый вектор, параллельный прямой l. Тогда длины хорд, высекаемых прямой l₁ на окружностях S₁ и S₁', равны. А если расстояние между проекциями центров окружностей S₁' и S₂ на прямую l равно a/2, то сумма или разность длин хорд, высекаемых прямой, параллельной прямой l и проходящей через точку пересечения окружностей S₁' и S₂, равна a. Требуемая окружность S₁' легко строится.

Источники и прецеденты использования