Из 16 плиток размером 1×3 и одной плитки 1×1 сложили квадрат со стороной 7. Докажите, что плитка 1×1 лежит в центре квадрата или примыкает к его границе.

   Решение

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

   Решение

Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей равны, то равны и площади всех четырех частей.

   Решение

Докажите, что  l_a .

   Решение

В центре каждой клетки шахматной доски стоит по фишке. Фишки переставили так, что попарные расстояния между ними не уменьшились. Докажите, что в действительности попарные расстояния не изменились.

   Решение

На плоскости дана окружность и не пересекающая ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а данную прямую — в бесконечно удаленную прямую.

   Решение

Докажите, что  r_a + r_b + r_c = 4R + r.

   Решение

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше 6r.

   Решение

Докажите, что для любого нечетного n3 на плоскости можно указать 2n различных точек, не лежащих на одной прямой, и разбить их на пары так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки из разных пар, проходила бы еще через одну из этих 2n точек.

   Решение

Постройте треугольник ABC по стороне c, высоте h_c и разности углов A и B.

   Решение

Тема:    [ Симметрия и построения ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник ABC по стороне c, высоте h_c и разности углов A и B.

Решение

Предположим, что треугольник ABC построен. Обозначим через C' точку, симметричную C относительно серединного перпендикуляра к стороне AB, через B' — точку, симметричную B относительно прямой CC'. Для определенности будем считать, что AC < BC. Тогда ACB' = ACC' + C'CB = 180^o - A + C'CB = 180^o - (A - B), т. е. угол ACB' известен.
Треугольник ABB' можно построить, так как AB = c, BB' = 2h_c и  ABB' = 90^o. Точка C является точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку BB' и дуги окружности, из которой отрезок AB' виден под углом 180^o - (A - B).

Источники и прецеденты использования