Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.

   Решение

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.

   Решение

Докажите, что касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности или в окружность и прямую, или в пару параллельных прямых.

   Решение

Даны середины трех равных сторон выпуклого четырехугольника. Постройте этот четырехугольник.

   Решение

Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

   Решение

Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса  так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите , если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно.

   Решение

Тема:    [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Построены четыре окружности равного радиуса  так, что одна из них касается трех других, а каждая из этих трех касается двух сторон треугольника. Найдите , если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r и R соответственно.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — центры данных окружностей, касающихся сторон треугольника, O — центр окружности, касающейся этих окружностей, O₁ и O₂ — центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Прямые AA₁, BB₁ и CC₁ являются биссектрисами треугольника ABC, поэтому они пересекаются в точке O₁. Следовательно, треугольник A₁B₁C₁ переходит в треугольник ABC при гомотетии с центром O₁, причем коэффициент гомотетии равен отношению расстояний от точки O₁ до сторон треугольников ABC и A₁B₁C₁, т. е. равен (r - )/r. При этой гомотетии описанная окружность треугольника ABC переходит в описанную окружность треугольника A₁B₁C₁. Так как OA₁ = OB₁ = OC₁ = 2, радиус описанной окружности треугольника A₁B₁C₁ равен 2. Следовательно, R(r - )/r = 2, т. е. = rR/(2r + R).

Источники и прецеденты использования