Версия для печати
Убрать все задачи

---

Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?

   Решение

---

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, H — точка пересечения высот. Докажите, что a² + b² + c² = 9R² - OH².

   Решение

---

Даны два многочлена P(x) и Q(x) положительной степени, причём  P(P(x)) ≡ Q(Q(x))  и  P(P(P(x))) ≡ Q(Q(Q(x))).
Обязательно ли тогда  P(x) ≡ Q(x)?

   Решение

---

На плоскости дан квадрат 8×8, разбитый на клеточки 1×1. Его покрывают прямоугольными равнобедренными треугольниками (два треугольника закрывают одну клетку). Имеется 64 черных и 64 белых треугольника. Рассматриваются "правильные" покрытия – такие, что каждые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует правильных покрытий?

   Решение

---

Докажите, что количество частей, на которые данные прямые разбивают плоскость, равно 1 + n + ((P) - 1), причем среди этих частей 2n неограниченных.

   Решение

---

Части, на которые плоскость разрезана прямыми. раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета (см. задачу 27.1). Пусть a -- количество красных частей, b — количество синих частей. Докажите, что

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда красные области — треугольники и углы.

   Решение

Тема:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ]

Сложность: 7 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Части, на которые плоскость разрезана прямыми. раскрашены в красный и синий цвет так, что соседние части разного цвета (см. задачу 27.1). Пусть a -- количество красных частей, b — количество синих частей. Докажите, что

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда красные области — треугольники и углы.

Решение

Пусть a_k' — количество красных k-угольников, a' — количество ограниченных красных областей, количество отрезков, на которые данные прямые разбиты точками их пересечения, равно (P) - n (см. задачу 25.10.1). Каждый отрезок является стороной не более чем одного красного многоугольника, поэтому 3a'ka_k'(P) - n, причем одно неравенство достигается тогда и только тогда, когда нет красных k-угольников, где k > 3, а другое неравенство достигается тогда и только тогда, когда любой отрезок является стороной красного k-угольника, т. е. любая неограниченная красная область является углом.
Количество ограниченных областей равно 1 - n + ((P) - 1) = c (см. задачу 25.11.1). поэтому количество b' ограниченных синих областей равно c - a'1 - n + ((P) - 1) - ((P) - n)/3 = 1 - (2n/3) + (2(P)/3 - 1). Цвета 2n неограниченных областей чередуются, поэтому b = b' + n1 + (n/3) + (2(P)/3 - 1) и  a = a' + n(2n + (P))/3, а значит, 2b - a2 + ((P) - 2).

Источники и прецеденты использования