Пусть a и b – действительные числа. Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел равенством     Докажите формулу Эйлера:   e^a+ib = e^a(cos b + i sin b).

   Решение

Найдите значение дроби В*А*Р*Е*Н*Ь*Е / К*А*Р*Л*С*О*Н, где разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты  AA₁, BB₁ и CC₁. Докажите, что периметр треугольника A₁B₁C₁ не превосходит половины периметра треугольника ABC.

   Решение

Имеются два кошелька и одна монета. Внутри первого кошелька одна монета, и внутри второго кошелька одна монета. Как такое может быть?

   Решение

Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна d , а ребра, исходящие из одной вершины относятся как m:n:p .

   Решение

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Докажите равенство треугольников ACO и DBO, если известно, что  ∠ACO = ∠DBO  и  BO = OC.

   Решение

На плоскости даны три окружности S₁, S₂ и S₃. Докажите, что если две радикальных оси этих окружностей пересекаются в точке Q, то третья радикальная ось также проходит через эту точку.
Точка Q называется радикальным центром окружностей S₁, S₂ и S₃.

   Решение

С помощью одного циркуля
  а) постройте точки пересечения данной окружности S и прямой, проходящей через данные точки A и B;
  б) постройте точку пересечения прямых A₁B₁ и A₂B₂, где A₁, B₁, A₂ и B₂ – данные точки.

   Решение

Темы:    [ Теорема Мора-Маскерони ] [ Построения одним циркулем ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

С помощью одного циркуля
  а) постройте точки пересечения данной окружности S и прямой, проходящей через данные точки A и B;
  б) постройте точку пересечения прямых A₁B₁ и A₂B₂, где A₁, B₁, A₂ и B₂ – данные точки.

Решение

  а) Пользуясь задачей 58338, построим центр O окружности S. Строим точку О', симметричную O относительно AB (см. задачу 58334). Если О' не совпадает с О, то для произвольной точки C на S строим точку C', симметричную ей относительно AB. Тогда окружность S' с центром О' и радиусом О'C' симметрична S относительно AB. Искомые точки являются точками её пересечения с S.
  Если же О' совпадает с О, то рассмотрим вспомогательную окружность Ω. Строим инверсные образы прямой AB (задача 58337) и окружности S (задачи 58326 и 58338) относительно Ω и находим их точки пересечения. Искомые точки инверсны им относительно Ω.

  б) Рассмотрим некоторую инверсию с центром A₁. Прямая A₂B₂ при этой инверсии переходит в окружность S, проходящую через точку A₁ образы A₃ и B₃ точек A₂ и B₂. Окружность S мы можем построить, воспользовавшись задачей 58337. Затем построим точки пересечения S и прямой A₁B₁, воспользовавшись п. а). Искомой точкой является образ точки пересечения, отличной от A₁, при рассматриваемой инверсии.

Источники и прецеденты использования