Версия для печати
Убрать все задачи

---

Диагонали прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Окружность с центром в точке $E$ лежит внутри прямоугольника. Из вершин $C$, $D$, $A$ проведены касательные к окружности $CF$, $DG$, $AH$, причем $CF$ пересекает $DG$ в точке $I$, $EI$ пересекает $AD$ в точке $J$, а прямые $AH$ и $CF$ пересекаются в точке $L$. Докажите, что отрезок $LJ$ перпендикулярен $AD$.

   Решение

---

Решите систему

   Решение

---

Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде  P(x)U(x) + Q(x)V(x):
  а)  P(x) = x⁴ + x³ – 3x² – 4x – 1,  Q(x) = x³ + x² – x – 1;
  б)  P(x) = 3x⁴ – 5x³ + 4x² – 2x + 1,  Q(x) = 3x³ – 2x² + x – 1.

   Решение

---

Пусть точки A^*, B^*, C^*, D^* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:
а) : = : ;
б) (DA, AC) - (DB, BC) = (D^*B^*, B^*C^*) - (D^*A^*, A^*C^*).

   Решение

Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Пусть точки A^*, B^*, C^*, D^* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:
а) : = : ;
б) (DA, AC) - (DB, BC) = (D^*B^*, B^*C^*) - (D^*A^*, A^*C^*).

Решение

Установим соответствие между точками плоскости и комплексными числами так, чтобы центр инверсии находился в нуле. Тогда образом числа z при инверсии со степенью R является число R/. Двойным отношением комплексных чисел a, b, c, d называют комплексное число

Если a^*, b^*, c^*, d^* — образы чисел a, b, c, d при инверсии, то

Задача а) следует из равенства модулей этих чисел, а задача б) — из равенства их аргументов.

Источники и прецеденты использования