Условие
Даны точки A, B, C, D, никакие три из которых
не лежат на одной прямой, и точки A1, B1, C1, D1,
удовлетворяющие тому же условию.
а) Докажите, что существует проективное преобразование,
переводящее точки A, B, C, D соответственно в точки A1,
B1, C1, D1.
б) Докажите, что преобразование задачи а) единственно,
т. е. проективное преобразование плоскости определяется
образами четырех точек в общем положении (ср. с задачей 30.4).
в) Докажите утверждение задачи а), если точки A, B, C
лежат на одной прямой l, а точки A1, B1, C1 —
на одной прямой l1.
г) Единственно ли преобразование задачи в)?
Решение
а) Достаточно показать, что точки A, B, C, D можно
перевести проективным преобразованием в вершины квадрата. Пусть E
и F — точки (возможно, бесконечно удаленные) пересечения прямой
AB с прямой CD и прямой BC с прямой AD соответственно. Если
прямая EF конечна, то существует центральное проектирование
плоскости ABC на некоторую плоскость 
, для которого EF —
исключительная прямая. В качестве центра проецирования можно
взять произвольную точку O вне плоскости ABC, а в качестве
плоскости — произвольную плоскость, параллельную плоскости
OEF и не совпадающую с ней. При этом точки A, B, C, D
проецируются в вершины параллелограмма, который уже при помощи аффинного
преобразования можно перевести в квадрат. Если же прямая EF
бесконечно удаленная, то ABCD — уже параллелограмм.
б) В силу задачи а) нам достаточно разобрать случай, когда
ABCD и
A1B1C1D1 — один и тот же параллелограмм. В этом
случае его вершины неподвижны, а значит, неподвижны две точки бесконечно
удаленной прямой, в которых пересекаются продолжения противоположных
сторон. Поэтому согласно задаче 30.14, а) отображение
должно быть аффинным, и, следовательно, согласно задаче 29.6, --
тождественным.
в) Поскольку прямые l и l1 мы можем спроецировать на
бесконечность (см. решение задачи а)), нам достаточно доказать,
что существует аффинное преобразование, которое данную точку O
отображает в данную точку O1, а прямые, параллельные данным
прямым a, b, c соответственно, отображает на прямые, параллельные
данным прямым a1, b1, c1 соответственно. Можно считать, что
прямые a, b, c проходят через O, а прямые a1, b1, c1 — через O1. Выберем на c и c1 произвольные точки C и C1
и проведем через каждую из них по две прямые a', b' и a1',
b1' параллельно прямым a, b и a1, b1 соответственно.
Тогда аффинное преобразование, которое параллелограмм, ограниченный
прямыми a, a', b, b', переводит в параллелограмм, ограниченный
прямыми a1, a1', b1, b1' (см. задачу 29.6, в)), является искомым.
г) Не обязательно. Преобразование из задачи 30.21 (как и тождественное
преобразование) оставляет неподвижными точку O и прямую a.
Источники и прецеденты использования
