Задача 58423

Тема:    [ Проективные преобразования плоскости ]

Сложность: 7 Классы: 10,11

Условие

Даны точки A, B, C, D, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и точки A₁, B₁, C₁, D₁, удовлетворяющие тому же условию.
а) Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее точки A, B, C, D соответственно в точки A₁, B₁, C₁, D₁.
б) Докажите, что преобразование задачи а) единственно, т. е. проективное преобразование плоскости определяется образами четырех точек в общем положении (ср. с задачей 30.4).
в) Докажите утверждение задачи а), если точки A, B, C лежат на одной прямой l, а точки A₁, B₁, C₁ — на одной прямой l₁.
г) Единственно ли преобразование задачи в)?

Решение

а) Достаточно показать, что точки A, B, C, D можно перевести проективным преобразованием в вершины квадрата. Пусть E и F — точки (возможно, бесконечно удаленные) пересечения прямой AB с прямой CD и прямой BC с прямой AD соответственно. Если прямая EF конечна, то существует центральное проектирование плоскости ABC на некоторую плоскость , для которого EF — исключительная прямая. В качестве центра проецирования можно взять произвольную точку O вне плоскости ABC, а в качестве плоскости  — произвольную плоскость, параллельную плоскости OEF и не совпадающую с ней. При этом точки A, B, C, D проецируются в вершины параллелограмма, который уже при помощи аффинного преобразования можно перевести в квадрат. Если же прямая EF бесконечно удаленная, то ABCD — уже параллелограмм.
б) В силу задачи а) нам достаточно разобрать случай, когда ABCD и  A₁B₁C₁D₁ — один и тот же параллелограмм. В этом случае его вершины неподвижны, а значит, неподвижны две точки бесконечно удаленной прямой, в которых пересекаются продолжения противоположных сторон. Поэтому согласно задаче 30.14, а) отображение должно быть аффинным, и, следовательно, согласно задаче 29.6, -- тождественным.
в) Поскольку прямые l и l₁ мы можем спроецировать на бесконечность (см. решение задачи а)), нам достаточно доказать, что существует аффинное преобразование, которое данную точку O отображает в данную точку O₁, а прямые, параллельные данным прямым a, b, c соответственно, отображает на прямые, параллельные данным прямым a₁, b₁, c₁ соответственно. Можно считать, что прямые a, b, c проходят через O, а прямые a₁, b₁, c₁ — через O₁. Выберем на c и c₁ произвольные точки C и C₁ и проведем через каждую из них по две прямые a', b' и a₁', b₁' параллельно прямым a, b и a₁, b₁ соответственно. Тогда аффинное преобразование, которое параллелограмм, ограниченный прямыми a, a', b, b', переводит в параллелограмм, ограниченный прямыми a₁, a₁', b₁, b₁' (см. задачу 29.6, в)), является искомым.
г) Не обязательно. Преобразование из задачи 30.21 (как и тождественное преобразование) оставляет неподвижными точку O и прямую a.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	2
Название	Проективные преобразования плоскости
Тема	Проективные преобразования плоскости
задача
Номер	30.015