Из 16 плиток размером 1×3 и одной плитки 1×1 сложили квадрат со стороной 7. Докажите, что плитка 1×1 лежит в центре квадрата или примыкает к его границе.

   Решение

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

   Решение

Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей равны, то равны и площади всех четырех частей.

   Решение

Докажите, что  l_a .

   Решение

В центре каждой клетки шахматной доски стоит по фишке. Фишки переставили так, что попарные расстояния между ними не уменьшились. Докажите, что в действительности попарные расстояния не изменились.

   Решение

На плоскости дана окружность и не пересекающая ее прямая. Докажите, что существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а данную прямую — в бесконечно удаленную прямую.

   Решение

Докажите, что  r_a + r_b + r_c = 4R + r.

   Решение

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри треугольника до его вершин не меньше 6r.

   Решение

Докажите, что для любого нечетного n3 на плоскости можно указать 2n различных точек, не лежащих на одной прямой, и разбить их на пары так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки из разных пар, проходила бы еще через одну из этих 2n точек.

   Решение

Тема:    [ Переведем данную прямую на бесконечность ]

Сложность: 7 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любого нечетного n3 на плоскости можно указать 2n различных точек, не лежащих на одной прямой, и разбить их на пары так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки из разных пар, проходила бы еще через одну из этих 2n точек.

Решение

Пусть A₁...A_n — правильный n-угольник, l_i — прямая, содержащая его сторону, противоположную вершине A_i, B_i — точка пересечения прямой l_i с бесконечно удаленной прямой. Разобьем точки A₁,..., A_n, B₁,..., B_n на пары (A_i, B_i). Покажем, что это разбиение обладает требуемым свойством. Для этого нужно рассмотреть прямые B_iB_j, A_iA_j и A_iB_j (ij).
1) Прямая B_iB_j содержит все точки B₁,..., B_n. Поскольку n3, среди них есть точка, отличная от B_i и B_j.
2) Прямая A_iA_j параллельна одной из прямых l_k, поскольку число n нечетно. Следовательно, прямая A_iA_j проходит через точку B_k.
3) Если ij, то прямая, проходящая через вершину A_i параллельно прямой l_j, содержит некоторую вершину A_k, ki. Поэтому прямая A_iB_j проходит через точку A_k.
Применив к набору точек A₁,..., A_n, B₁,..., B_n проективное преобразование, можно добиться, чтобы все эти точки не были бесконечно удаленными.

Источники и прецеденты использования