Версия для печати
Убрать все задачи

---

Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами отрезков AA₁, BB₁ и CC₁, пересекаются в одной точке.

   Решение

---

На квадратном столе лежит квадратная скатерть так, что ни один угол стола не закрыт, но с каждой стороны стола свисает треугольный кусок скатерти. Известно, что какие-то два соседних куска равны. Докажите, что и два других куска тоже равны. (Скатерть нигде не накладывается сама на себя, её размеры могут отличаться от размеров стола.)

   Решение

---

В доску вбито 20 гвоздиков (см. рисунок). Расстояние между любыми соседними равно 1 дюйму. Натяните нитку длиной 19 дюймов от первого гвоздика до второго так, чтобы она прошла через все гвоздики.

   Решение

---

Среди десятизначных чисел каких больше: тех, которые можно представить как произведение двух пятизначных чисел, или тех, которые нельзя так представить?

   Решение

---

В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединён ровно с пятью другими?

   Решение

---

У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1001, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.)

   Решение

---

Из вершины C остроугольного треугольника ABC опущена высота CH, а из точки H опущены перпендикуляры HM и HN на стороны BC и AC соответственно. Докажите, что треугольники MNC и ABC подобны.

   Решение

---

Докажите, что  

   Решение

---

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

   Решение

---

a₁, a₂, ..., a_n  – такие числа, что  a₁ + a₂ + ... + a_n = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение   S = a₁a₂ + a₁a₃ + ... + a_n–1a_n ≤ 0
(в сумму S входят все возможные произведения a_ia_j,  i ≠ j).

   Решение

---

Докажите тождества:

  а)  

  б)  

  в)  

  г)  

  д)  

(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что      – это количество k-элементных подмножеств в множестве из n элементов; исходя из того, что     – это коэффициент при x^k у многочлена  (1 + x)ⁿ;  пользуясь "шахматным городом" из задачи 60395).

   Решение

Темы:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Правило произведения ] [ Подсчет двумя способами ] [ Многочлены (прочее) ] [ Целочисленные решетки (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите тождества:

  а)  

  б)  

  в)  

  г)  

  д)  

(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что      – это количество k-элементных подмножеств в множестве из n элементов; исходя из того, что     – это коэффициент при x^k у многочлена  (1 + x)ⁿ;  пользуясь "шахматным городом" из задачи 60395).

Решение 1

а) Пусть нам из r человек надо выбрать комиссию в составе m человек, а внутри неё – штаб из k человек. Если сначала выбрать членов комиссии, а из них выбирать штаб, то подсчёт числа способов это сделать приведёт по правилу произведения к левой части равенства. Но можно поступить по-другому: сначала выбрать штаб, а потом из оставшихся  r – k  человек выбрать  m – k  "простых" членов комиссии. Тогда подсчёт приведёт к правой части равенства.

б) Пусть есть  n + 1  шар: один – чёрный, а остальные – белые. Тогда число способов выбрать  m + 1  белый шар равно     а число способов выбрать m белых и один чёрный шар равно     В сумме получим общее число способов выбрать  m + 1  шар из  n + 1,  то есть  

в) Достаточно в г) взять k = m = n.

г) Пусть есть набор из m чёрных и n белых шаров. При каждом p от 0 до k число способов выбрать p белых и  k – p  чёрных шаров равно     Складывая, получим общее число способов выбрать k шаров из  m + n,  то есть  

д) Пусть есть множество  {a₁, ..., a_n}  из n элементов. Вместо того, чтобы сразу найти число способов выбрать из него k элементов, найдём сначала количество k-элементных множеств, содержащих a₁ (их будет   );  затем не содержащих a₁, но содержащих a₂ (их   )  и так далее. В результате получим правую часть.

Решение 2

а) Найдём двумя способами коэффициент при x^m–ky^k в многочлене  (1 + x + y)^r.  Записав его в виде  (1 + (x + y))^r,  заметим, что он равен коэффициенту при x^m–ky^k в многочлене     то есть      С другой стороны, записав его в виде  ((1 + x) + y)^r,  получим, что он равен коэффициенту при при x^m–ky^k в многочлене     то есть  

б) В равенстве  (1 + x)ⁿ⁺¹ = (1 + x)ⁿ(1 + x)  одночлен     в левой части получается как сумма одночленов     и  

г) В равенстве  (1 + x)^m+n = (1 + x)ⁿ(1 + x)^m  одночлен     в левой части получается как сумма одночленов  

д) Перепишем формулу п. б) в виде     Применяя её последовательно, получим     На последнем шаге надо заметить, что  

Решение 3

б)     – количество путей, ведущих из вершины треугольника Паскаля к числу, стоящему на (m+1)-м месте в (n+1)-й строке. Каждый такой путь проходит либо через m-е, либо через (m+1)-е число m-й строки и в далее за один "ход" попадает в нужное место. Путей второго типа –     а первого –  

в)     – количество путей, ведущих из вершины треугольника Паскаля к числу, стоящему на n-м месте в 2n-й строке. Каждый такой путь проходит ровно через одно число n-й строки. При этом количество путей, проходящих через число, стоящее на k-м месте, равно     (к указанной точке ведут     путей, а из неё до нужного места – столько же).

г)     – количество путей, ведущих из вершины треугольника Паскаля к числу, стоящему на k-м месте в (m+n)-й строке. Каждый такой путь проходит ровно через одно число n-й строки. При этом количество путей, проходящих через число, стоящее на l-м месте, равно     (к указанной точке ведут     путей, а из неё до нужного места –     путей).

д) См. задачу 30713.

Замечания

1. Пункт б) также следует из построения треугольника Паскаля.

2. См. также задачу 61523.

3. В задаче 30 из главы 11 книги "Ленинградские математические кружки" предлагался только пункт в).

Источники и прецеденты использования