В сундуке лежали два колпака белого цвета и три черного. В темную комнату завели трех мудрецов и надели на них какие-то колпаки из сундука. Потом вывели в другую комнату. Они не видят, какого цвета колпак на них, но видят колпакки других. Через некоторое время один из них догадался, какого цвета на нем колпак. Как? Какого цвета был колпак?

   Решение

Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?

   Решение

Существует ли такой четырёхугольник, что любая диагональ делит его на два тупоугольных треугольника?

   Решение

Нарисуйте, как из данных трёх фигурок, использовав каждую ровно один раз, сложить фигуру, имеющую ось симметрии.

   Решение

Какие значения может принимать разность возрастающей арифметической прогрессии a₁, a₂,..., a₅, все члены которой принадлежат отрезку [0; 3π/2], если числа cos a₁, cos a₂, cos a₃, а также числа sin a₃, sin a₄ и sin a₅ в некотором порядке тоже образуют арифметические прогрессии.

   Решение

На вопрос о возрасте его детей математик ответил:
– У нас с женой трое детей. Когда родился наш первенец, суммарный возраст членов семьи был равен 45 годам, год назад, когда родился третий ребёнок – 70 годам, а сейчас суммарный возраст детей – 14 лет.
Сколько лет каждому ребенку, если известно, что у всех членов семьи дни рождения в один и тот же день?

   Решение

Докажите, что если для чисел a, b и c выполняются неравенства | a - b|| c|, | b - c|| a|, | c - a|| b|, то одно из этих чисел равно сумме двух других.

   Решение

У Алёны есть мобильный телефон, заряда аккумулятора которого хватает на 6 часов разговора или 210 часов ожидания. Когда Алёна садилась в поезд, телефон был полностью заряжен, а когда она выходила из поезда, телефон разрядился. Сколько времени она ехала на поезде, если известно, что Алёна говорила по телефону ровно половину времени поездки?

   Решение

а) Докажите, что существует натуральное число, которое при замене любой тройки соседних цифр на произвольную тройку остаётся составным.
б) Существует ли такое 1997-значное число?

   Решение

Кощей Бессмертный похитил Василису-премудрую у Иванушки-дурачка. Когда Иванушка пришёл к Кощею за невестой, то тот предложил Иванушке узнать свою Василису. В темнице, куда приведут Иванушку, будет и Василиса, и Баба Яга, превратившаяся в Василису так, что не отличишь. Иванушке разрешено задать каждой из них один вопрос: "Ты Василиса?". Иванушка знает, что Баба Яга всегда врёт, но Василиса об этом не знает. Сможет ли Иванушка узнать свою невесту?

   Решение

Три последовательных угла вписанного четырёхугольника относятся как 1:2:3. Найдите все углы четырёхугольника.

   Решение

Пусть m и n – целые числа. Докажите, что  mn(m + n)  – чётное число.

   Решение

Тема:    [ Четность и нечетность ]

Сложность: 2 Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Пусть m и n – целые числа. Докажите, что  mn(m + n)  – чётное число.

Решение

  Если одно из чисел m, n чётно, то произведение  mn(m + n)  чётно.
  Если же m и n нечётны, то  m + n  чётно, и произведение снова чётно.

Источники и прецеденты использования