Версия для печати
Убрать все задачи

---

Летела стая гусей. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся. Остальные летели дальше. Все гуси сели на n озерах.
Сколько всего гусей было в стае?

   Решение

---

Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

   Решение

---

а) Докажите, что если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

б) Докажите, что если в треугольнике биссектриса совпадает с высотой, то этот треугольник равнобедренный.

   Решение

---

Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2n – 1) = n².

   Решение

---

Числа в вершинах

В неориентированном графе без кратных ребер и петель
расставить в вершинах числа так, чтобы если вершины
соединены ребром, то числа имели общий делитель, а если нет - то нет.

Входные данные.
В файле INPUT.TXT записано число N (0<N<7) - количество вершин в графе.
Затем записана матрица смежности.

Выходные данные.
В файл OUTPUT.TXT вывести N натуральных чисел из диапазона Longint,
которые вы предлагаете приписать вершинам.

Пример файла INPUT.TXT	
3
0 1 1
1 0 0
1 0 0	

Пример файла OUTPUT.TXT
6 2 3

   Решение

---

В пространстве имеется 43 точки: 3 желтых и 40 красных. Никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Может ли количество треугольников с красными вершинами, зацепленных с треугольником с желтыми вершинами, быть равно $2023$?

Жёлтый треугольник зацеплен с красным, если контур красного пересекает часть плоскости, ограниченную жёлтым, ровно в одной точке. Треугольники, отличающиеся перестановкой вершин, считаются одинаковыми.

   Решение

---

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Из вершин A и B опущены перпендикуляры на CD, пересекающие прямые BD и AC в точках K и L соответственно. Докажите, что AKLB — ромб.

   Решение

---

Даны n комплексных чисел C₁, C₂,..., C_n, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что

то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.

   Решение

---

Пусть ABCD — пространственный четырёхугольник, точки K₁ и K₂ делят соответственно стороны AB и DC в отношении , точки K₃ и K₄ делят соответственно стороны BC и AD в отношении . Доказать, что отрезки K₁K₂ и K₃K₄ пересекаются.

   Решение

---

Докажите, что числа p и  p + 2  являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда  4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p² + 2p).

   Решение

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11 Название задачи: Теорема Клемента.

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что числа p и  p + 2  являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда  4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p² + 2p).

Решение

  Согласно задачам 60719 и 60458 число p – простое  ⇔  (p – 1)! + 1 ≡ 0 (mod p)  ⇔  4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p).
  Остается доказать, что  p + 2  – простое ⇔  4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p + 2).
  Заметим, что  p(p + 1) ≡ – 2(p + 1) ≡ 2 (mod p + 2).  Поэтому  2(p + 1)! ≡ 4(p – 1)! (mod p + 2),  откуда  2((p + 1)! + 1) + (p + 2) ≡ 4((p – 1)! + 1) + p (mod p + 2).
  p + 2  – число простое  ⇔  (p + 1)! + 1 ≡ 0 (mod p + 2)  ⇔  2((p + 1)! + 1) + (p + 2) ≡ 0 (mod p + 2)  ⇔  4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p + 2).

Источники и прецеденты использования