В треугольнике ABC высота AH равна медиане BM. Найдите угол MBC.

   Решение

На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке K . Найдите площадь треугольника CKB , если катет BC равен a и катета AC равен b .

   Решение

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и F. Прямые EF и BC пересекаются в точке S. Точки M и N – середины отрезков BC и EF соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN, пересекает BC в точке K. Докажите, что  BK : CK = FS : ES.

   Решение

Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, можно отметить так, чтобы произведение любых двух отмеченных чисел было бы точным квадратом?

   Решение

Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите расстояние от центра вписанной окружности до высоты, опущенной на гипотенузу.

   Решение

С помощью индукции докажите следующее утверждение, эквивалентное малой теореме Ферма: если p – простое число, то для любого натурального a справедливо сравнение  a^p ≡ a (mod p).

   Решение

Темы:    [ Малая теорема Ферма ] [ Индукция (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

С помощью индукции докажите следующее утверждение, эквивалентное малой теореме Ферма: если p – простое число, то для любого натурального a справедливо сравнение  a^p ≡ a (mod p).

Решение

При  a = 0  утверждение очевидно. Предположим, что оно доказано для некоторого  a ≥ 0.  Из задачи 60668 следует, что   (a + 1)^p ≡ a^p + 1 (mod p).  Применяя предположение индукции, приходим к нужному сравнению.

Источники и прецеденты использования