Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁.
  а) Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
  б) Пусть A₂ – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA₁ и AA₂ симметричны относительно биссектрисы угла A.

   Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — основания высот AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC. Докажите, что прямые Эйлера треугольников AB₁C₁, BA₁C₁ и CA₁B₁ пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC.

   Решение

Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.

   Решение

Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он ещё не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение  P(x) = a.  Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть?

   Решение

У Аладдина есть несколько одинаковых слитков золота, и иногда он просит джинна увеличить их количество. Джинн добавляет тысячу таких же слитков, но после этого берёт за услугу ровно половину от получившейся общей массы золота. Мог ли Аладдин оказаться в выигрыше после десяти таких просьб, если ни один слиток не пришлось распиливать?

   Решение

Имеется треугольник $ABC$ и линейка, на которой отмечены отрезки, равные сторонам треугольника. Постройте этой линейкой ортоцентр треугольника, образованного точками касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности.

   Решение

Докажите, что при любом нечётном n число  2^n! – 1  делится на n.

   Решение

Темы:    [ Теорема Эйлера ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при любом нечётном n число  2^n! – 1  делится на n.

Подсказка

Достаточно заметить, что n! делится на λ(n) – см. задачу 60788.

Источники и прецеденты использования