В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Может ли площадь треугольника, образованного точками пересечения этих отрезков, быть больше 0, 499S_ABC?

   Решение

а) Можно ли разложить 20 монет достоинством в 1, 2, 3, ..., 19, 20 мунгу по трём карманам так, чтобы в каждом кармане оказалась одинаковая сумма денег?

б) А если добавить еще один тугрик? (Как известно, один тугрик равен ста мунгу.)

   Решение

Даны отрезки a и b. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок .

   Решение

Биссектриса и высота, проведённые из одной вершины некоторого треугольника, делят его противоположную сторону на три отрезка.
Может ли оказаться, что из этих отрезков можно сложить треугольник?

   Решение

Найдите конечную арифметическую прогрессию с разностью 6 максимальной длины, состоящую из простых чисел.

   Решение

Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?

   Решение

Темы:    [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Производная и касательная ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?

Решение

Уравнение касательной к графику многочлена P(x) в точке   (x₀, P(x_o))  имеет вид  y – P(x₀) = P'(x₀)(x – x_o).  Пусть касательные в точках  (x_k, P(x_k))  (k = 0, 1, ..., n)  проходят через точку  (a, b).  Тогда  b – P(x_k) = P'(x_k)(a – x_k),  то есть многочлен  P(x) – P'(x)(x – a) – b,  степень которого не выше n, имеет  n + 1  корень. Противоречие.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования