Товарный поезд, отправившись из Москвы в x часов y минут, прибыл в Саратов в y часов z минут. Время в пути составило z часов x минут.
Найдите все возможные значения x.

   Решение

В круговом шахматном турнире участвовало шесть человек: два мальчика и четыре девочки. Могли ли мальчики по итогам турнира набрать в два раза больше очков, чем девочки? (В круговом шахматном турнире каждый игрок играет с каждым по одной партии. За победу дается 1 очко, за ничью – 0,5, за поражение – 0).

   Решение

В треугольнике ABC угол С в три раза больше угла A. На стороне AB взята такая точка D, что  BD = BC.  Найдите CD, если  AD = 4.

   Решение

На доске записано 101 число: 1², 2², ..., 101². За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности.
Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций?

   Решение

Найдите такие линейные функции  P(x)  и  Q(x),  чтобы выполнялось равенство   P(x)(2x³ – 7x² + 7x – 2) + Q(x)(2x³ + x² + x – 1) = 2x – 1.

   Решение

Тема:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Найдите такие линейные функции  P(x)  и  Q(x),  чтобы выполнялось равенство   P(x)(2x³ – 7x² + 7x – 2) + Q(x)(2x³ + x² + x – 1) = 2x – 1.

Решение

Заметим, что  2x³ – 7x² + 7x – 2 = (x – 1)(x – 2)(2x – 1),  2x³ + x² + x – 1 = (2x – 1)(x² + x + 1).  Поэтому достаточно найти такие функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство  P(x)(x² – 3x + 2) + Q(x)(x² + x + 1) = 1.  Их можно искать, например, методом неопределенных коэффициентов, записав последнее равенство в виде  (ax + b)(x² – 3x + 2) – (ax + c)(x² + x + 1) = 1.

Ответ

P(x) = ¹/₂₁ (4x + 5),  Q(x) = – ¹/₂₁ (4x – 11).

Источники и прецеденты использования