Версия для печати
Убрать все задачи

---

На координатной плоскости xOy построена парабола  y = x².  Затем начало координат и оси стёрли.
Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?

   Решение

---

а) Торт имеет форму треугольника, в котором один угол в 3 раза больше другого. Коробка для торта имеет форму того же треугольника, но симметрична ему относительно некоторой прямой. Как разрезать торт на две части, которые можно будет (не переворачивая) уложить в эту коробку?

б) Та же задача для торта в форме тупоугольного треугольника, в котором тупой угол в 2 раза больше одного из острых углов.
(Торт и коробку считайте плоскими фигурами.)

   Решение

---

В магазине в ряд висят 21 белая и 21 фиолетовая рубашка. Найдите такое минимальное k, что при любом изначальном порядке рубашек можно снять k белых и k фиолетовых рубашек так, чтобы оставшиеся белые рубашки висели подряд и оставшиеся фиолетовые рубашки тоже висели подряд.

   Решение

---

За круглым столом сидят 40 человек. Может ли случиться, что у каждых двух из них, между которыми сидит чётное число человек, есть за столом общий знакомый, а у каждых двух, между которыми сидит нечётное число человек, общего знакомого нет?

   Решение

---

Трапеция ABCD с основаниями AB и CD вписана в окружность Ω. Окружность ω проходит через точки C, D и пересекает отрезки CA, CB в точках A₁, B₁ соответственно. Точки A₂ и B₂ симметричны точкам A₁ и B₁ относительно середин отрезков CA и CB соответственно. Докажите, что точки A, B, A₂ и B₂ лежат на одной окружности.

   Решение

---

а) Докажите, что для любого многочлена f(x) степени n существует единственное представление его в виде

Биномиальный коэффициент      интерпретируется как многочлен от переменной x. В частности, нижний индекс у биномиального коэффициента может быть любым действительным числом.

б) Докажите, что коэффициенты  d₀, d₁, ..., d_n  в этом представлении вычисляются по формуле  d_k = Δ^kf(0)  (0 ≤ k ≤ n).

   Решение

---

В таблице  n×n  разрешается добавить ко всем числам любого несамопересекающегося замкнутого маршрута ладьи по 1. В первоначальной таблице по диагонали стояли единицы, а остальные были нули. Можно ли с помощью нескольких разрешённых преобразований добиться того, что все числа в таблице станут равны? (Считается, что ладья побывала во всех клетках таблицы, через которые проходит её путь.)

   Решение

---

Кривая  4p³ + 27q² = 0  на фазовой плоскости Opq называется дискриминантной кривой уравнения  x³ + px + q = 0.  Прямые  ap + q + a³ = 0,  соответствующие трёхчленам, имеющим корень a, называются корневыми. Каково взаимное расположение на фазовой плоскости Opq дискриминантной кривой и корневых прямых? Имеют ли они общие точки, и, если имеют, то сколько?

   Решение

Темы:    [ Кубические многочлены ] [ Фазовая плоскость коэффициентов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Кривая  4p³ + 27q² = 0  на фазовой плоскости Opq называется дискриминантной кривой уравнения  x³ + px + q = 0.  Прямые  ap + q + a³ = 0,  соответствующие трёхчленам, имеющим корень a, называются корневыми. Каково взаимное расположение на фазовой плоскости Opq дискриминантной кривой и корневых прямых? Имеют ли они общие точки, и, если имеют, то сколько?

Решение

Подставив в уравнение дискриминантной кривой  q = – ap – a³,  получим уравнение  4p³ + 27a²(p + a²)² = 0.  Нетрудно заметить, что корнем его является
p₁ = – 3a².  Поделив на  p + 3a²,  получим квадратное уравнение  4p² + 15a²p + 9a⁴ = 0,  которое имеет корни  p² = – 3a²  и  p³ = – ¾ a².  Им соответствуют значения  q₂ = 2a³  и  q₃ = – ¼ a³.  Итак, корневая прямая касается дискриминантной кривой в точке  (– 3a², 2a³)  и пересекает её в точке  (– ¾ a², – ¼ a³).  При  a = 0  эти точки совпадают (тройное касание).

Ответ

При  a ≠ 0  – две общие точки, при  a = 0  – одна.

Источники и прецеденты использования