Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?
В равносторонний треугольник со стороной a вписана окружность. К окружности проведена касательная, отрезок которой внутри треугольника равен b.
Найдите площадь треугольника, отсечённого этой касательной.
Бумажный прямоугольный треугольник АВС перегнули по прямой так, что вершина С прямого угла совместилась с вершиной В и получился четырёхугольник. В каких отношениях точка пересечения диагоналей четырёхугольника делит эти диагонали?
В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок.
Приведите пример числа, делящегося на 2020, в котором каждая из десяти цифр встречается одинаковое количество раз.
На стороны BC и CD параллелограмма ABCD (или
на их продолжения) опущены перпендикуляры AM и AN.
Докажите, что треугольники MAN и ABC подобны.
В треугольнике ABC угол A равен 40°. Треугольник случайным образом бросают на стол.
Найдите вероятность того, что вершина A окажется восточнее двух других вершин.
Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:
На острове 100 рыцарей и 100 лжецов. У каждого из них есть хотя бы один друг. Однажды ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – рыцари", и ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – лжецы". Каково наименьшее возможное количество пар друзей, один из которых рыцарь, а другой лжец?
|
|
 |
Условие
На острове 100 рыцарей и 100 лжецов. У каждого из них есть хотя бы один друг. Однажды ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – рыцари", и ровно 100 человек сказали: "Все мои друзья – лжецы". Каково наименьшее возможное количество пар друзей, один из которых рыцарь, а другой лжец?
Решение
Рассмотрим какого-нибудь жителя А острова, утверждающего: "Все мои друзья – лжецы". Если А – рыцарь, то его друг – лжец. Если А – лжец, то его друг – рыцарь. В любом случае А входит в пару друзей "разного" сорта. Так как такое высказывание сделали 100 человек, то количество таких пар не может быть меньше, чем 100 : 2 = 50.
Пример: пусть 50 рыцарей дружат между собой, 50 лжецов дружат между собой, и есть 50 пар друзей вида "рыцарь – лжец", причём других друзей у жителей из этих пар нет. Тогда каждыйиз первых двух групп вправе сказать: "Все мои друзья – рыцари", а каждый из третьей группы: "Все мои друзья – лжецы".
Ответ
50 пар.
